Résolution d'équation differentielle

[Thwarn]

Bonjour,

Je cherche l'ensemble des solutions pour l'équation differentielle:
d²(x(t))/dt²=k/x² avec k une constante.

Merci d'avance
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

On a déjà parlé d'un truc similaire il y a quelques temps. Je te conseille de multiplier par x', d'intégrer, et ça te donnera une équation en x'.

Remercie Matthias pour cette méthode, dont je ne me serais jamais souvenu s'il ne l'avait rappelée...

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rvz

[Thwarn]

Merci,

J'ai essayé, ça me fait donc:
x'x''=kx'/x²
J'integre, ce qui me donne, si je ne me suis pas trompé:
x'²/2=-k/x
Par contre, la je ne sais plus quoi faire, j'ai essayer l'integration de xx'²=-2k mais cela ne me donne rien de mieux...
Tu aurais une idée pour la suite?

[indian58]

passe à la racine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thwarn]

j'y ai pensé, mais il y a quand meme un probleme de taille, c'est le - devant -k/x...
Sachant que je veut rester dans les réels...
A moins que les complexes partent plus tard?

De plus, x'= i(2k/x)^(1/2) ne me parait pas plus facile ( pour ne pas dire beaucoup plus difficile ) à resoudre...

[invite6b1e2c2e]

Si ta fonction doit être réél, tu ne peux pas avoir le carré de sa dérivée négatif.
Donc, quand k négatif, tu peux rajouter la condition x négatif. Là, tu intègres (Si si c'est très faisable), et ça te donne le résultat...
En plus, tu n'as plus l'unicité, et donc il va falloir discuter...Cf le post que je viens d'ajouter à la liste de contre exemples.

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rvz

[Thwarn]

j'ai donc 2x'²=-k/x
Que je modifie en
x'(x)^(1/2)=i(2k)^(1/2)

J'integre:
(2/3)x^(3/2)=i(2k)^(1/2)t + c (car x est fonction de t, et c est une constante ).

Je bidouille, et cela me donne:

x(t) = (-9kt/2 + c²)^(1/3)

Est ce que c'est une des solutions?

[invite6b1e2c2e]

C'est l'idée, mais je vois encore quelques fautes.

1/ A la première ligne, tu as multiplié par 2 au lieu de diviser.

2/ N'écris pas i*k^0.5, mais plutot (-k)^0.5, on ne sait jamais, dès fois que k soit négatif...

3/ Il faut discuter sur le signe de x. Si x change de signe, c'est la catastrophe, car que fait sqrt(x) dans ce cas ? En gros, il faut faire une discussion très précise pour s'en sortir sans encombre, même si je sais que c'est un peu ennuyeux...

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rvz

[Thwarn]

Merci,

1/ c'est une faute que j'ai faite en recopiant, c'est juste la premmiere ligne qui est fausse (cf mes autres postes)

2/ ok, j'y avait pas penser, meme si ça revient au meme ensuite (le - revient devant k grace au ² )

3/ je ne vois pas trop pourquoi il faut discuter le signe de x, vu que x est ma fonction, le resultat que j'ai trouvé me dit juste que x est toujours positif, non?

[Thwarn]

Par ailleurs, est-ce que la solution que j'ai trouvé est bonne?
En vérifiant, les deux membres de l'équation sont presque pareille, mais pas tout a fait... Peut etre que ce n'est qu'une n-ieme erreur de calcule que je n'ai pas trouvé.
Autrement, il y a des site qui permettent de tracer des courbes en ligne?

Merci encore,

[invite6b1e2c2e]

3/ je ne vois pas trop pourquoi il faut discuter le signe de x, vu que x est ma fonction, le resultat que j'ai trouvé me dit juste que x est toujours positif, non?

Ca dépend dans quelle zone en temps tu travailles. Il faut regarder ça de près.

Sinon, tu peux résoudre ça numériquement en faisant des petits programmes type Runge Kutta d'ordre 4 sur scilab par exemple...
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rvz

[Thwarn]

Ca dépend dans quelle zone en temps tu travailles. Il faut regarder ça de près.

C'est d'ailleurs ça qui me pose probleme, au depart, c'est pour faire de la physique, et si on pose c=0, on est obligé de travailler avec un temsp negatif...
Pourtant, mon équa dif de depar est bonne ( x''=k/x² )
Je ne comprend pas

[invite6b1e2c2e]

Et tu es sûr que k est négatif ? Que ta solution n'est pas censé exploser ?

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rvz, qui propose des tentatives d'explications un peu fumeuses

[Thwarn]

je suis sur que k est positif, plutot...
apres, au niveau de l'implosion, explosion ou paplosion, j'en sais rien ( en fait, je ne vois pas ce que tu veux dire )

[martini_bird]

Salut,

pour ma part, à partir de l'équation en x', je trouve


Sinon, quand on intègre pour la première fois on rajoute pas une constante ?

Cordialement.