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Revêtements et surfaces de Riemann



  1. #1
    Quinto

    Revêtements et surfaces de Riemann


    ------

    Allo,
    j'ai souvent lu par curiosité sur les surfaces de Riemann et les revêtements, mais je suis très loin d'être un expert dans ces domaines là.
    Aujourd'hui, je suis confronté à un problème d'uniformisation et je sollicite donc un peu de votre aide.

    Voilà le problème, j'ai un anneau A(r) qui est en fait le cercle unité privé du cercle de centre 0 et de rayon r<1.

    Je pense que l'application de R.(r,1) définie par
    f(t,s)=(s.cos(t),s.sin(t),t) est un revêtement de mon anneau.
    En fait, on peut effectivement voir l'anneau comme étant l'ensemble des z=s.exp(it), et pour être plus rigoureux, je pense que f(z) défini par
    f(z)=(z,t) est un revêtement de mon anneau.

    Là je pense ne pas m'être trop trompé.
    Maintenant, on a donc une surface S, qui est un genre d'helice au dessus de mon anneau. Cette hélice est une surface simplement connexe. Les questions que je me pose sont les suivantes:
    S possède t'elle une structure de surface de Riemann naturelle?
    Le théorème de Klein-Koebe-Poincaré, sur l'uniformisation des surfaces de Riemann simplement connexes nous dit que l'on peut toujours identifier une surface simplement connexe au plan, à la sphère ou au disque unité muni de leur métrique respective.
    Ainsi, si S est une surface de Riemann, comment faire pour trouver à quelle surface de référence S est elle conforme?
    Quels moyens usuels utilise t'on dans ce genre de situation?

    Voilà, je ne connais pas du tout le sujet, comme annoncé, alors un peu d'aide serait la bienvenue.
    Amicalement,
    Quinto

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Quinto

    Re : Revêtements et surfaces de Riemann

    Je pense que les puristes ne manqueront pas de me reprendre ou de me faire remarquer que ce que je disais était faux.

    Je vais essayer de clarifier le problème, au cas où:
    On a l'anneau A(1,r) dans le plan complexe, qui correspond a B(0,1)\B(0,r) r<1.

    Au dessus de cet anneau j'ai une hélice qui monte et descend à l'infini, et de sorte que la projection de cette hélice dans R^2=C soit justement A(1,r).
    Comme je ne suis pas expert en surfaces de Riemann, je me demandais si cette hélice était une surface de Riemann, et si oui à quelle surface de "référence" elle était conforme.
    Par argument de compacité, je pense que ce n'est pas è la sphère, mais encore?
    En fait, intuitivement je dirais que l'on peut "déplier" l'hélice en une bande dans C, et donc par le théorème de Riemann, j'aurai envie de dire que mon hélice est conforme au disque hyperbolique, mais ca me parrait trop "simple".
    Si c'est le cas comment mettre ca plus rigoureux, sinon que faire?
    Voilà, j'espère que c'est plus clair maintenant.
    a+ et merci de votre aide.

  4. #3
    martini_bird

    Re : Revêtements et surfaces de Riemann

    Salut,

    ton revêtement est simplement l'exponentielle, définie sur la bande . Donc ton hélice est bien conforme au disque.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #4
    Quinto

    Re : Revêtements et surfaces de Riemann

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    ton revêtement est simplement l'exponentielle, définie sur la bande . Donc ton hélice est bien conforme au disque.

    Cordialement.
    Excellent, je vais regarder ca, et essayer de résoudre mon problème grâce à tes indications.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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