Encore des revêtements et des surfaces

[Quinto]

Salut,
je ne sais pas si vous connaissez ce résultat assez intéressant en analyse complexe:
2 anneaux (couronnes) sont conformes si et seulement si elles ont le même module.
Un anneau c'est un disque privé d'un disque concentrique plus petit. Le module c'est le rapport du rayon du grand disque sur le rayon du petit disque. Je note ca A(r,R) où R est le grand rayon et r le petit.

On peut facilement envoyer conformément un anneau sur l'anneau A(r/R,1).
Finalement ce résultat est équivalent au suivant:
Les anneaux A(s,1) et A(t,1) sont conformes si et seulement si s=t.

La démonstration est assez classique et on la trouve par exemple dans le Rudin (l'idée est de construire une fonction harmonique via l'application conforme que l'on suppose existante, on la fait s'annuler sur toute la frontière et on conclut en utilisant le principe du maximum).

Je travaille un peu sur les surfaces et les revêtements, sans pour autant être un expert, d'autant plus que les livres que j'utilise sont parfois en désaccord sur les définitions. J'ai donc un peu de mal à tout saisir, mais j'aurai voulu donner un exemple d'utilisation des surfaces et des revêtements dans mon mémoire et pour celà j'aurai aimé redémontrer le théorème sur les anenaux:

Mon idée était la suivante:
1) On suppose que les anneaux A(s,1) et A(t,1) sont conformes via une certaine application g.

2) Je note X(s) le revêtement universel de A(s,1), c'est tout simplement la bande log(s)<Re(z)<0

3) Je note X(t) le revêtement universel de A(t,1), c'est tout simplement la bande log(t)<Re(z)<0

Je pensais pouvoir conclure en montrant l'existence d'une application conforme h entre X(t) et X(s) et qui fasse commuter mon diagramme. Est-ce que quelqu'un aurait une idée pour faire fonctionner ma démonstration, ou pour montrer que ca ne marchera pas?

Dans un avenir proche, j'aimerai l'adapter et exhiber toujours à l'aide des revêtements, une application entre deux domaines de même module, en travaillant non pas sur les domaines troués, mais sur les revêtements universel. Je n'ai trouvé personne pouvant m'aider, ni aucun livre sur le sujet.
Si vous aviez des suggestions, je serai volontieur preneur

Merci d'avance,
Amicalement,
Quinto
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[martini_bird]

Je pensais pouvoir conclure en montrant l'existence d'une application conforme h entre X(t) et X(s) et qui fasse commuter mon diagramme. Est-ce que quelqu'un aurait une idée pour faire fonctionner ma démonstration, ou pour montrer que ca ne marchera pas?

Salut,

pour conclure, il faudrait montrer que X(t) et X(s) sont conformes ssi s=t. C'est bien sûr la condition suffisante qui mérite développement : intuitivement, on voit bien qu'il faut faire intervenir une homothétie si et que l'application résultante ne peut pas être conforme. Reste à mettre ça en forme proprement...

Cordialement.

[Quinto]

Salut,
merci de ta réponse mais c'est justement le "proprement" qui m'embete
Merci encore.
a+

[martini_bird]

Salut,

tous les domaines simplement connexes du plan, hormis le plan lui-même, sont conformément équivalents au disque ouvert donc conformément équivalents entre eux (cf. Rudin). Comme conséquence deux bandes sont toujours conformément équivalentes.

Il semble que ce qui va empêcher ton diagramme de commuter, c'est que les revêtements ne sont pas nécessairement conformes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Salut,
je ne comprend pas ce que tu appelles "revêtement conforme".

[martini_bird]

Salut,
je ne comprend pas ce que tu appelles "revêtement conforme".

Salut,

je pensais à la projection (le revêtement est précisément cette application) : est-elle conforme ?

Cordialement.

[Quinto]

Salut,
non elles ne sont pas conformes, puisque l'un des espaces est simplement connexe et pas l'autre.

[martini_bird]

Salut,

oki. En fait je ne vois pas ce que tu voulais dire dans ton premier message :

Je pensais pouvoir conclure en montrant l'existence d'une application conforme h entre X(t) et X(s) et qui fasse commuter mon diagramme.

Je pensais à quelque chose du genre



mais ça n'a pas l'air d'être ça...

[Quinto]

Salut,
c'est exactement ce que je voulais !
je cherche à montrer dans ce cas, que f n'existe pas, et j'aurai voulu chercher une méthode via les revêtements (j'avais fait une erreur, et maintenant je doute que ce soit possible de trouver une telle méthode)
Dans un cas plus général, c'est à dire si A(t,1) est remplacé par un ensemble doublement connexe conforme à A(s,1), j'aimerai pouvoir calculer f en utilisant ce diagramme, et en trouvant un h qui fonctionne.
Les qui fonctionnent étant par exemple l'exponentielle dans les deux cas.

[martini_bird]

Re,

ben si tu as une section s de , est conforme si , h et s le sont... ce qui n'a pas l'air d'être souvent le cas !

[Quinto]

Salut,
qu'est ce qu'une section?
Je pense que c'est possible de trouver des trucs intéressants via cette méthode, mais je me demande si je trouverais ce que je veux

[martini_bird]

Une section s d'un revêtement (ou d'un fibré, etc.) est simplement une application telle que avec B la base.

Je pense que c'est possible de trouver des trucs intéressants via cette méthode, mais je me demande si je trouverais ce que je veux

Là-dessus je n'ai pas d'idée. Tout ce que je vois à mon petit niveau, c'est que la "conformité" est une notion plus forte que l'homéomorphisme (puisqu'il y a intervention de métrique) : comme les revêtements donnent surtout une description topologique, ça me semble logique que tu perdes des infos en passant au revêtement universel. Mais bon, je ne suis pas un crack : si homotopie passe par ici, il apportera certainement des précisions de meilleure qualité !

Cordialement.

[invite35452583]

Salut,
h existe :
on choisit un point origine quelconque x dans X(t) on l'envoie sur y dans X(s) de telle manière que
Maintenant pour x', il existe un chemin reliant x à x'. On peut relever ce chemin ce qui donne h(x').
X(t) étant simplement connexe h(x') ne dépend pas de .
Topologiquement parlant : la seule obstruction au relèvement de est le groupe fondamental car est un revêtement, or X(t) est simplement connexe il n'y a pas d'obstruction.
On se place localement autour de y' dans X(s) sur un domaine U tel que restreint à U soit un homéo sur son image. On peut choisir pour les chemins un chemin choisi une fois pour toute reliant x à x' et l'image reliant y à y', et pour les aures points de U on prolonge ce chemin en restant dans U. Ce faisant on se rend compte que h définit un homéo local aussi régulier que le sont . La conformité étant une notion locale (enfin si je me rappelle bien, l'analyse complexe et moi... )
h est conforme.

Peut-il y avoir une application conforme entre deux bandes infinies de largeurs différentes ? Non sinon on peut refaire le diagramme et cette fois définir f à partir de h, il y a èquivalence entre le résultat sur les anneaux et celui sur les bandes.
Ou autrement dit là je laisse la main aux analystes complexes pour montrer le résultat sur les bandes.

[Quinto]

Merci énormément pour ta réponse !!
Cependant tu dis ceci:

Peut-il y avoir une application conforme entre deux bandes infinies de largeurs différentes ? Non sinon on peut refaire le diagramme et cette fois définir f à partir de h, il y a èquivalence entre le résultat sur les anneaux et celui sur les bandes.

et le théorème de Riemann affirme que tous les domaines simplement connexes de C, distincts de C lui même, sont conformes.
Les bandes sont donc conformes, non?

Maintenant je pose ma deuxième question que j'avais plus ou moins annoncé:
Si je remplace A(t,1) par un ensemble, appelons le E, qui est (je le sais par hypothèse) conforme à un anneau A(s,1). Est ce que je peux trouver ce fameux h, et si oui, est ce que je peux m'en servir pour calculer toutes les applications conformes entre E et A(s,1)?

[invite35452583]

"Mille désoles"
f définit h à un choix de point près oui :
revêtement => homéo local
f homéo, base localement compact donc homéo local
on peut donc définir h localement et l'argument de simple connexité montre que ça se "recolle" bien.
La conformité étant locale h est conforme.
h homéo ? (<=>bijective là où on en est)
inj; : x,x' ->y =>lacet allant de x vers x' qui s'envoie sur lacet autour de y. L'application de ces deux chemins de la base impliquerait une non injectivité entre groupes fondamentaux des deux espaces de base or ils sont homéo, contradiction
bij : application ouverte et X(s) connexe.

Mais h (sans condition suppl) n'implique pas f. (vacances ....)

Par rapport au résultat de Riemann, celui-ci indique que le problème va se poser sur les bords. Une bande ouverte est homéo à un demi-plan ouvert mais leur fermeture dans C, non. Mais, je ne vois pas l'argument qui n'est pas que d'ordre topologique (pour elle ça marche très bien au contraire )

Pour la question avec E, juste une remarque : les appl conformes de E vers A(s,1) sont définies modulo le groupes des isomorphismes conformes de A(s,1).

[invite35452583]

J'ai peut-être la fin de la démo pour le "théorème des anneaux" via les revêtements.
h qui vient d'être construit est un homéomorphisme conforme (je ne sais plus le terme exact mais l'expression est claire) entre deux bandes.
h est défini modulo un homéo conforme de la bande X(s). Or, une telle application conforme peut s'étendre à C (non?) et reste injective (a priori ça doit pas être trop dur à montrer avec un peu de maîtrise d'analyse complexe que j'ai perdue). Bref, h' est une applcation conforme injective ce qui si je ne me trompe pas une application affine z->az+b mais celle-ci doit laisser stable une bande donc est une translation "parallèle à la bande".
Maintenant, un homéo conforme entre deux bandes (qu'on choisira horizontales pour clarifier les expressions utilisées après) envoient les horizontales de la première sur des courbes concaves ou convexes (il suffit d'en décrire une et de vérifier le fait mais je ne vois pas comment il pourrait en être autrement). Cette propriété est invariante par translation donc un homéo conforme envoie les horizontales sur des courbes strictement concaves ou convexes. Mais ceci est hautement incompatibles avec le diagramme commutatif : deux points sur une même horizontale de X(t) espacés de ont même image sur A(t,1) donc sont envoyés dans X(t) sur deux points ayant même image dans A(t,1) i.e. sont sur une même horizontale. Ceci n'est possible que si les courbes images des horizontales (concaves ou convexes) sont des horizontales également d'où contradiction.

Pas mal de "détails" techniques sont laissés en plan mais je pense que l'idée est bonne.
EDIT : et je trouve qu'elle illustrerait bien le "pourquoi" du résultat, il semble que c'était en effet une bonne idée d'utiliser les revêtements.

[Quinto]

Salut,
merci beaucoup pour ta réponse, je vais potasser tout ca.
A première vue cependant, un argument me semble un peu litigieux, mais je n'ai fait que survoler ton argumentation, alors je reviendrais commenter tout ca, dans un futur plus ou moins proche.

Merci encore, ca pourrait me sauver la vie
a+