Lien primitive/intégrale.

[invite42abb461]

Bonjour, je voudrais savoir (depuis le temps !) quel lien "intuitif" peut on établir entre ces deux notions. Je connais la démonstration qui justifie que l'intégrale de a a x de f(t)dt est la primitive qui s'annule en a mais je voudrais savoir comment on a pu avoir cette idée, puisque la démonstration suppose de connaitre le résultat a l'avance. Il me semble que c'est un paralelle avec les suites (u_(n+1) - u_n s'apparente a la dérivée alors que la somme de 1 a n des u_k a une intégrale).
Certain(e)s d'entre vous peuvent ils (elles) m'aider ?
Merci d'avance.
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[invite6f25a1fe]

Il me semble que tout ceci, en fait tu parle du "théorème fondamental de l'analyse", est dû à Leibniz. En tout cas, il est à l'origine de la notation comme étant une primitive de f. D'après ce que me je souviens (oula, ca fait longtemps que je l'ai lu ca^^) il a remarqué que les deux problèmes (dérivation, intégration) étaient "l'opposé" l'un de l'autre. Les problèmes en question faisait appel pour l'un à un truc sur les tangentes et l'autre à quelques chose en rapport avec la mesure d'un arc de courbe (heu, bon, c'est ce dont je me souviens, donc il y a peu de chance pour que soit juste). Il devait en tout cas faire intervenir des sommes puisque le signe intégrale est un "s long" provenant de la première lettre de "summa" (somme en latin)
Comme ce ne sont que des p'tits morceaux de souvenirs lointain (quand je lisais encore des livres), je te conseil de faire une vérification. Je ne peux pas plus t'aider, mais en faisant une recherche sur le net avec primitive, leibniz etc... tu devrais pouvoir trouver quelques trucs

[invite6f25a1fe]

Après une brève recherche sur le sujet, voila un extrait du site http://www.lycee-international.com :

"Leibniz conçoit, à la même époque que Newton, son calculus differentialis et son calculus summatorius pour résoudre deux problèmes distincts et, pour lui, inverses l'un de l'autre : celui des tangentes et celui des sommations (c'est-à-dire de l'intégration). Ses conceptions sont exposées dans deux mémoires publiés dans les Arta eruditorum (1684 et 1686) et dans la correspondance qu'il entretient avec les savants de son époque,
Dans un système de coordonnées cartésiennes, toute courbe s'exprime par une équation. On peut donc se demander quelle direction doit suivre une droite pour que, passant par un point de la courbe, elle y soit tangente : ce problème revient, selon Leibniz, à calculer des différences infinitésimales, puisqu'il est nécessaire de comparer différentiellement un point de la courbe avec le point immédiatement précédent.
Inversement, si on connait une formule exprimant la variation de direction de la tangente à une courbe, il doit être possible d'établir l'équation inconnue de cette courbe, sa " fonction primitive ". La découverte de Leibniz est d'avoir vu que ce deuxième problème revient à une rectification ou mesure d'un arc de courbe.
Le séjour donc Leibniz à Paris fut déterminant dans ses recherches. Ainsi, l'impulsion de Huygens et ses conseils, la lecture de Pascal (Traité des sinus du quart de cercle), et l'étude des géomètres contemporains ont conduit Leibniz à voir dans l'étude du triangle caractéristique l'outil essentiel pour résoudre le problème des tangentes pour des courbes quelconques, puis à concevoir la rectification des courbes comme un problème inverse du premier. "

[invite42abb461]

Ok merci pour tes infos. Mais j'ai toujours de la peine a comprendre en quoi ces deux problemes sont opposés l'un de lautre. Il y a bien une différence d'un coté, et une somme de l'autre, mais les termes ne sont pas les memes : d'un coté différence de 2 points, de lautre somme de toutes les bandes de largeur infinitésimale sous la courbe. ==> ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedef78796]

Bonjour à tous,

Pour élargir un peu plus le débat, j'ajoute que du point de vue de l'intégrale de Lebesgue, une somme discrète (par exemple sur ) peut tout à fait être comprise comme une intégrale (par rapport à une mesure de comptage).

Les analogies sommes/séries sont très nombreuses on peut encore citer la transformation d'Abel qui n'est rien d'autre qu'une intégration par parties discrète.


Pour répondre plus précisement à ta question, il faut juste préciser de quelle intégrale tu parles ? Le théorème que tu cites (théorème qui fait le lien entre intégrale et primitives) est valable pour l'intégrale de Riemann des fonctions continues sur un segment...


Peut-être que ce que tu veux c'est une explication à la main :

En physique, la vitesse moyenne d'un point entre deux instants s'écrit :



et tu fais tendre vers 0 pour avoir la vitesse instantanée.

Si tu veux récuperer la position tu dis que :



et tu sommes sur des "infiniment petits" pour retrouver la distance parcourue.


De ce point de vue le lien entre intégrale et primitives est assez clair et je pense que c'est comme ça que Newton et Leibniz (qui étaient aussi physiciens) ont vite intuité le résultat.

[invitea77054e9]

Pour élargir un peu plus le débat, j'ajoute que du point de vue de l'intégrale de Lebesgue, une somme discrète (par exemple sur ) peut tout à fait être comprise comme une intégrale (par rapport à une mesure de comptage).

C'est un point de vue très intéressant à adopter, notamment pour montrer certains résultats sur les séries. Par exemple, le résultat sur l'échange des indices dans une série double (dont je ne me rappelle plus le nom exact) n'est qu'une application du théorème de Fubini dans le cas de la mesure de comptage sur .

Mais, je crois qu'on vient de commetre un détournement de topic . Désolé.