primitive, aire et intégrale

[invite21126052]

bonjour à tous

voilà, je me posais une petite question:
en terminale, pour introduire la notion d'intégrale, on utilise le fait que ce soit l'aire sous la courbe; à partir de là, on en déduit bien gentiment certaines propriétés (linéarité, chasles, etc...).

jusque là, pas de problèmes.

ensuite, on introduit la primitive ( "l'inverse" de la dérivée), et puis on démontre le théorème fondamentale de l'analyse de la manière présentée ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...de_l%27analyse

c'est là que je me pose quelques questions: toute "transformée" (l'intégrale, c'est un peu transformer uen fonction? je vais donc me permettre de l'appeler comme ça) ayant ses propriétés (chasles, linéarité,...) pourrait alors etre vue comme l'aire? comment être sûr que ce soit la "bonne" intégrale, et qu'on n'introduit pas de dilatation dans les aires, ou autre...

je sais vraiment pas si je suis très clair (ça ne l'est pas non plus très dans ma tête, je sais même pas si ça pose un véritable problème, mais ça me turlupine...)

merci beaucoup pour vos réponses à cette drôle de question!!
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[invite88ef51f0]

Salut,
Tout simplement parce qu'on le définit pour... La construction propre d'une intégrale se fait en prenant la limite de sommes qui correspondent à l'aire de petits rectangles qu'on peut mettre sous la courbe. Si bien que l'intégrale correspond bien finalement à l'aire. On aurait mis des 2 partout dans la définition, on aurait certes eu les mêmes propriétés, mais ça aurait pas été très pratique...

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
pourquoi toute telle fonction donnerait l'aire sous la courbe?

Par exemple prend une fonction continue f>0 sur [a,b].
Posons Tf, une fonction agissant sur les fonctions continues sur [a,b]
g->(fg)(b)-(fg)(a)
alors Tf est linéaire , vérifie la "propriété de Chasles" je pense.

[invite88ef51f0]

Ma première phrase répond à :

comment être sûr que ce soit la "bonne" intégrale

Je pense effectivement qu'il existe d'autres transformées vérifiant la même propriété. Mais l'intégrale a été définie pour vérifier ces propriétés et correspondre à l'aire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite21126052]

ok.... bon je suis encore en phase de doute malgré vos explications...

est ce que vous connaitriez un site qui parle de la façon dont on définit l'integrale? une somme d'éléments infinitésimaux multipliés par la fonction, ok... mais alors, comment définit-on ces derniers?

enfin je sais pas, peut-être qu'il faut que j'attende un peu...
ou si vous avez le courage de rentrer un peu dans la construction de l'intégrale? mais je veux pas abuser non plus, je peux attendre...

merci beaucoup pour la peine que vous vous êtes déjà donnée!

[inviteab2b41c6]

Rentrer dans la construction générale de l'intégrale est quelque chose de pas évident, surtout si tu veux rentrer dans quelque chose de pas "trop simple".

La plus simple serait celle ci:

On appelle fonction en escalier sur un intervalle J une fonction qui est constante par morceaux sur J.
On définit l'intégrale d'une fonction h constante sur (a,b) comme étant h*(b-a)
On définit l'intégrale d'une fonction en escalier e sur J comme étant la somme des intégrales des fonctions constantes qui la défini.

Tu prends une fonction f bornée sur un intervalle I.
Tu pose S[f] l'ensemble des fonctions en escalier qui sont supérieures à f.
Tu pose I[f] l'ensemble des fonctions en escalier qui sont inférieures à f.

Je considère A l'ensemble de toutes les valeurs prisent par les intégrales des fonctions de S[f].
Je considère B l'ensemble de toutes les valeurs prisent par les intégrales des fonctions de I[f].
Notamment A et B sont des sous ensembles de R respectivements minorés et majorés, et également non vide tous les 2. (exercice facile)
Notamment, A possède une borne inférieure, appelée intégrale supérieure et B une borne supérieure appelée intégrale inférieure.
On dit que f est intégrable au sens de Riemann sur I si l'intégrale supérieure et l'intégrale inférieure sont égales.
Sinon f n'est pas intégrable sur I.

Exercices faciles:
-Toute fonction continue est Riemann intégrable.
-La fonction f définie sur [0,1] par
f(x)=0 si x est rationnel
f(x)=1 sinon
est elle intégrable au sens de Riemann sur [0,1]

Là tu as une belle construction de l'intégrale et tu peux montrer les propriétés que tu lui connais. (Il en existe des meilleures mais largement plus compliquées à appréhender)
A+

[inviteab2b41c6]

Ma première phrase répond à :Je pense effectivement qu'il existe d'autres transformées vérifiant la même propriété. Mais l'intégrale a été définie pour vérifier ces propriétés et correspondre à l'aire.

Salut,
je répondais à Planck à travers sa question:

c'est là que je me pose quelques questions: toute "transformée" (l'intégrale, c'est un peu transformer uen fonction? je vais donc me permettre de l'appeler comme ça) ayant ses propriétés (chasles, linéarité,...) pourrait alors etre vue comme l'aire? comment être sûr que ce soit la "bonne" intégrale, et qu'on n'introduit pas de dilatation dans les aires, ou autre...

Cordialement.

[invite88ef51f0]

Oui, il y a eu croisement, et du coup j'étais pas sûr d'avoir été bien clair... maintenant ça l'est.
Du coup, Planck a toutes les réponses qu'il voulait !

[invite21126052]

Je considère A l'ensemble de toutes les valeurs prisent par les intégrales des fonctions de S[f].
Je considère B l'ensemble de toutes les valeurs prisent par les intégrales des fonctions de I[f].
Notamment A et B sont des sous ensembles de R respectivements minorés et majorés, et également non vide tous les 2. (exercice facile)

il suffit de prendre une fonction constante sur l'intervalle considéré, égale au maximum (respectivement, minimum) de la fonction, ce sont effectivement des fonctions en escalier, supérieure (repect, inf.) à f, donc A et B ne sont pas vides

par contre, en ce qui concerne le fait que ces esembles soient majorés ou minorés... je vois parfaitement poruquoi, mais pour lé démontrer...?
par un théorème de comparaison, du style:
soit g une fonction quelconque appartenant à S[f]
donc, pour tout x de l'intervalle, f(x) =< g(x), donc les intégrales sont rangées dans le même ordre, et d'où le résultat... mais ce que j'utilise là, ça découle plutôt des propriétés qu'on déduit après coup, non?

Exercices faciles:
-Toute fonction continue est Riemann intégrable.
-La fonction f définie sur [0,1] par
f(x)=0 si x est rationnel
f(x)=1 sinon
est elle intégrable au sens de Riemann sur [0,1]

pour ces exercices, je vois pas trop par où commencer...
comment prouver que dans ces cas, l'integrale sup = l'integrale inferieure?

en tout cas, merci pour cette réponse, cette construction me convient

ps: y a pas aussi une intégrale de Lebesgue? mais pour le coup, ça doit être de très loin pas mon niveau je suppose?

[invitea77054e9]

Oui, pour la Lebesgue-intégration, je te conseille de voir ça dans quelques temps, j'essaye de la comprendre en ce moment, et c'est assez difficile comme théorie, mais très intéressant par ailleurs.

[inviteab2b41c6]

il suffit de prendre une fonction constante sur l'intervalle considéré, égale au maximum (respectivement, minimum) de la fonction, ce sont effectivement des fonctions en escalier, supérieure (repect, inf.) à f, donc A et B ne sont pas vides

par contre, en ce qui concerne le fait que ces esembles soient majorés ou minorés... je vois parfaitement poruquoi, mais pour lé démontrer...?

C'est drôle que tu n'y arrives pas, parce que si tu relis ton premier paragraphe, la réponse est également dedans.

Pour les 2 exercices que je te donne, laisse peut être tromber le premier, il n'est pas forcément abordable à ton niveau, il faut savoir bien manier les fonctions continues pour celà.
Pour le 2e, c'est assez simple, considère l'intégrale sup, et regarde ce qu'elle peut valoir au minimum. Pour l'intégrale inf, regarde ce qu'elle peut valoir au maximum (peut elle être strictement positive?).

Avec la théorie de Lebesgue le premier exercice est complétement trivial, et le second ne se pose pas, car cette fonction est Lebesgue intégrable et c'est également complétement trivial. On voit donc l'interet d'une nouvelle théorie (même si c'est quand même plus puissant) mais il ne faut pas croire qu'une fonction Riemann intégrable est aussi Lebesgue intégrable, ca ce n'est vrai que sur les segments [a,b]. Exposer ici la théorie de Lebesgue releverait de l'exploit, mais la construction de Lebesgue se base beaucoup plus sur des notions ensemblistes (on intersecte des ensembles dans tous les sens, on en fait des unions etc). La construction est très peu intuitive, voire surréaliste, mais l'outil ainsi développé est magnifique.

[invite21126052]

d'accord, ces ensembles sont majorés (ou minorés) par la fonction constante que j'avais défini dans ce message (en prenant la max. ou le min.)...

en fait, je pensais que tu me proposais de prouver que c'est majorée par l'intégrale de f directement... ce pour quoi j'avais un peu plus de mal! (si? c'était quand même ça!!? )

pour le deuxième exercice, mon intuition me ferais dire qu'elle est égale à 0...
rapport avec l'indenombrabilité de IR ?
mais es tu sûr que je sois capable, avec les éléments que tu m'as donné, de résoudre ces exercices? (je sors tout juste de terminale! enfin, c'est juste que j'ai pas envie de me creuser la tête si je ne peux pas y arriver - si je peux, pourquoi pas )

en tout cas, merci pour ta (votre!) patience!

[inviteab2b41c6]

d'accord, ces ensembles sont majorés (ou minorés) par la fonction constante que j'avais défini dans ce message (en prenant la max. ou le min.)...

Exact.

en fait, je pensais que tu me proposais de prouver que c'est majorée par l'intégrale de f directement... ce pour quoi j'avais un peu plus de mal! (si? c'était quand même ça!!? )

Non, à ce stade tu ne sais pas ce qu'est l'intégrale d'une fonction qui ne soit pas en escaliers.

pour le deuxième exercice, mon intuition me ferais dire qu'elle est égale à 0...

Non elle n'est tout simplement pas définie (si tu parles de l'intégrale de f)

mais es tu sûr que je sois capable, avec les éléments que tu m'as donné, de résoudre ces exercices? (je sors tout juste de terminale! enfin, c'est juste que j'ai pas envie de me creuser la tête si je ne peux pas y arriver - si je peux, pourquoi pas )

Oui y'a pas de problème pour le deuxième exercice, il suffit d'utiliser le fait que l'intégrale sup et l'intégrale inf ne sont pas égales.

[invite21126052]

bon, d'accord, , comme trop souvent, le gros malin que je suis n'avait pas lu l'énoncé jusqu'au bout, et j'avais cru comprendre que tu me proposais de calculer cette intégrale, non pas de disserter sur son existence (non, non, c'est moi qui ait pas lu, entierement ma faute!)...

mais bon, je vais quand même essayer de

considère[r] l'intégrale sup, et regarde[r] ce qu'elle peut valoir au minimum. Pour l'intégrale inf, regarde[r] ce qu'elle peut valoir au maximum (peut elle être strictement positive?).

merci bien!

[invite06020107]

slt!
petite question : si l'intégrale d'une f° positive est censée représenter l'air sous la courbe , la double intégrale représente quoi ? ( rien surement ) et à quoi sert elle ? ++

[invite21126052]

ça, je pense que je peux répondre!
il me semble que ça représente le volume sous la surface d'équation f(x,y), non?

(réponse rapide, qui demande à être controlée par d'autres qui s'y connaissent plus...)

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
une intégrale double ca se fait sur un certain ensemble X et par rapport à deux variables x et y, donc déjà il faut se situer dans le plan pour faire une intégrale double.