Probleme d'équation différentielle

[invite9d2d3d4c]

bonjour
Voila je ne comprend pas bien, ce que dit mon livre et ce que dis ma prof differe à moins que je n'ai rien compris :

Quand on resout une ED d'ordre 2 dans second membre et que le delta de l'aqation caracteristique est négatif avec comme valeur propre t1,t2 = a+ib on a bien l'ensemble des soltution :

y = exp(at) ( A cos ( bt) + B sin (bt) ) ( sa c'est le livre ) ???

Si ensuite on a un second membre (C(t) )on a bien comme vecteur propre ( sa c'est mon cour ) (1 , t1) et (1 , t2 ) toujours toujours ????
donc pour faire la variation des constantes on fait:

exp(at) A cos ( bt) + exp ( at) B sin (bt) ) = 0
t1 exp(at) A cos ( bt) + t2 exp (at) B sin (bt) ) = C(t)

Mais comment faire car on se retrouve avec des truc complexe a integrer...??????????????

Par exemple pour y''+ 4y = tg(t)
Pour la resolution de l'equation sans second membre je trouve :
y = a cos(2t) + bsin(2t) avec a et b constantes réelles.
( ma prof ne trouve pas sa dons je me demande si j'ai bien compris )

Mais c'est pour la variation des constante que je m'emmele les pinceaux :
a'(t) cos(2t) + 2i b'(t) sin(2t) = 0
a'(t) cos(2t) - 2i b'(t) sin(2t) = tg(t)

car j'ai comme vecteur propr V1 = ( 1, 2i) et V2 = ( 1, -2i )

Mais c'est un peu byzarre d'avoir es i dan mon systeme ...aaaaaaaaa aidez moi !!!

-----

[invite58081e51]

Reprenons les choses calmement (à mon avis tu n'es pas loin de la solution)

Utilisons ton exemple y''+4y=tg(t) qui j'ecrirais tan(t) (desole)

L'équation homogène a effectivement pour solution y(t)=acos(2t) + bsin(2t)

Ensuite tu as écris le bon système mais pourquoi écris tu 2*i devant le sinus???

[invite9d2d3d4c]

Reprenons les choses calmement (à mon avis tu n'es pas loin de la solution)

Utilisons ton exemple y''+4y=tg(t) qui j'ecrirais tan(t) (desole)

L'équation homogène a effectivement pour solution y(t)=acos(2t) + bsin(2t)

Ensuite tu as écris le bon système mais pourquoi écris tu 2*i devant le sinus???

parsque je pensais ( peu etre a tort ) que on avait comme vecteur propre V1= ( 1 , d1 ) et V2 = ( 1 , d2 ) avec d1 et d2 valeur propre.
et que le systeme s'ecrit :
a'(t) cos(2t) V1 + b'(t) sin(2) V2 = D(t) ou D(t) = (0, C(t) )
comme ici les valeur propres de V1 sont ( 1,2i) et de V2 (1 , -2i ) il me semblait logique d'ecrire le système comme je l'ai ecris meme si je n'arrive pas finalement a le trouver cohérent...

Comment écrit t on le systme ? Car si je ne m'abuse dans le cas reel poiur delta strictement positif on l'ecris comme j'ai fait le mien non ?

[invite9d2d3d4c]

je vous en supplis aidez moi je deviens folle avc toutes ces incohérence...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite533a42a8]

c'est peut-être plutôt que a=t1 et t2=b pas ib, non?

[invite58081e51]

bien vu chrisgir je confirme

[invite9d2d3d4c]

je ne comprend pas t1 et t2 sont mes valeur propre et sont conjugué : t1= a+ib et
t2 = a - ib ???????

[inviteaba0ef6b]

Salut,

sauf erreur y''+4y=0 -> h^2+4h=0 -> h(h+4)=0 -> h=0 ou h=-4 : 2 racines reels donc la solution est plutot de la forme

y= A exp(0t) + B exp(-4t) = A + B exp (-4t)

[invite9d2d3d4c]

Salut,

sauf erreur y''+4y=0 -> h^2+4h=0 -> h(h+4)=0 -> h=0 ou h=-4 : 2 racines reels donc la solution est plutot de la forme

y= A exp(0t) + B exp(-4t) = A + B exp (-4t)

equation caracteristiques : r^2+4 donc les racines sont complexe
-2i et 2i .....

[inviteaba0ef6b]

bon... en gros je crois que si t as deux racines distincte, reels ou complexes ( delta > ou < 0) la solution sans second membre donne

y = A exp(at) + B exp(bt) (>0)
ou
y = exp(at) A cos(bt) + exp(at) B sin(bt) (<0)


combinaison de 2 solutions linéairement indépendantes:

U1 = exp(at) ou exp(at)cos(bt)
U2 = exp(bt) ou exp(at)sin(bt)

et à la base tu calcule les dérivées et tu substitue, mais ça se simplifie tjs et t as:


A'(t) U1(t) + B'(t) U2(t) = 0
A'(t) U1'(t) + B'(t) U2'(t) = C(t)

--------------------------



pour ton equation :

y = A + B exp(-4t) ->

A' 1 + B' exp(-4t) = 0
A' 0 + B' (-4) exp(-4t) = tg(t)


A' = - B' exp(-4t)
B' = -4 tg(t) / exp(-4t) -> je sais pas, I[-4 sin/cos(t) exp(4t)] =

[-sin/cos(t) exp(4t)] - I[- (1/cos^2(t)) exp(4t)] = ...

[inviteaba0ef6b]

oups oui j avais pas vu, merci... bon c est tout faux sauf le principe... j espere

[invite9d2d3d4c]

si

y"+ay'+by = B(t)

on resout tout d'abord l'ED sans second membre.
on arrive a : - delta positif et deux valeur propres x et z donc
y = C1 exp ( xt) + C2 exp ( zt ) C1 et C2 constantes Réelles

- delta nul une valeur propres x
y = ( C1 + C2 t ) exp ( xt )

- delta negatif et x = c+ id et z = c- id deux valeur propres
y = exp( ct) ( C1 cos( dt) + C2 sin( dt ) )

Comment fait on a partir de sa pour la resolution sans second membres pour les deux dernier cas je vous en suppli dite moi clairement pour chacun de ses deux cas comment on fait.

[invitede981004]

si

y"+ay'+by = B(t)

on resout tout d'abord l'ED sans second membre.
on arrive a : - delta positif et deux valeur propres x et z donc
y = C1 exp ( xt) + C2 exp ( zt ) C1 et C2 constantes Réelles

- delta nul une valeur propres x
y = ( C1 + C2 t ) exp ( xt )

- delta negatif et x = c+ id et z = c- id deux valeur propres
y = exp( ct) ( C1 cos( dt) + C2 sin( dt ) )

Comment fait on a partir de sa pour la resolution sans second membres pour les deux dernier cas je vous en suppli dite moi clairement pour chacun de ses deux cas comment on fait.

Je pense pour ma part qu'à ce niveau le problème est résolu.
Quelle est la methodologie pour la resolution des equatuions differentielles?
1-determination du polynôme caractéristique,
tu l'as fait,c'est quoi?
tu remplaces les "y" par (disons Z )et tu élèves chaque Z à la puissance correspondante au degré ex: y'' = Z² y' = Z
tu l'as fait. tu trouves le résultat de cette équation de degré ...
tu trouves l'équation de la forme

yhomogene = C1 exp ( xt) + C2 exp ( zt ) tu l'as fais

1-Attention

maintenant tu t'occupes du second membre de l'ED et dois te servir d'un tableau pour déterminer la solution spéciale qi sera de la forme yspeciale = ..........
tu dérives ce yspeciale que tu as pris du tableau autant de fois que tu n'as de degrés dans ton ED du membre de gauche, et

2-Attention

tu ramenes ces y,y' et y.... dans l'ED de gauche et te sers des conditions initales pour déterminer la valeur de cette solution speciale.
or la solution finale de l'ED donnée est
y= yhomogene+ yspeciale

NB le tableau des solutions speciales, tu dois l'avoir dans ton livre de maths ou sur internet et sans lui on ne peut facilement résoudre une ED de ce genre.

[invite8241b23e]

tu ramenes ces y,y' et y.... dans l'ED de gauche et te sers des conditions initales pour déterminer la valeur de cette solution speciale.

Et c'est à quel moment qu'on trouve les constantes de l'équation homogène ?

[invite9d2d3d4c]

c pas important la valeur des constante sauf si on nous presice dans l'énoncé y(t0) = y0.
Mais avec la variation des constante on fait comment une fois qu'on a

- delta nul une valeur propres x
y = ( C1 + C2 t ) exp ( xt )

- delta negatif et x = c+ id et z = c- id deux valeur propres
y = exp( ct) ( C1 cos( dt) + C2 sin( dt ) )
?

[invite9d2d3d4c]

Help Help Help !!!