Champs de vecteurs ?

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai ici un cours de géométrie analytique. Après la définition d'une vecteur localisé il est écrit :

" En physique sont utilisés des champs de vecteurs consistant en la donné d'une vecteur localisé en chaque point de la partie de l'espace considérée "

Qu'est ce que ça veut dire ? Il faut tout de même deux points pour localisé un vecteur ... a moins que celui ci ne soit nul mais bon ...

(P.S. J'ai horriblement difficile à assimiler la notion de vecteur malgré que cela fait des années que je les utilises ... )

merci
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[invite88ef51f0]

Salut,
Un champ, c'est associer une grandeur donnée à chaque point de l'espace. Il y a toute sorte de champs : les champs scalaires (un chiffre en chaque point de l'espace, par exemple un champ de température), les champs vectoriels (par exemple, un champ de vitesses), les champs tensoriels, les champs de patate...
Bref, un champ de vecteurs, c'est dire en ce point-là j'ai tel vecteur, en cet autre point, j'ai tel autre vecteur, etc... L'exemple le plus courant, c'est celui que j'ai cité : un champ de vitesses dans un écoulement, on donne le vecteur-vitesse en chaque point. Mais on peut sûrement en trouver d'autres

[invite8241b23e]

Et il ne faut pas de point pour définir un vecteur, sinon 1 seul pour le localiser (le point d'application), les coordonnées du vecteur faisant le reste...

[Bleyblue]

Oui mais ce qui me chiffone c'est que normalement un point ça ne suffit pas pour déterminer une vecteur ...
Un point ça ne définit que le point d'application du vecteur non ?

merci

EDIT : croisement avec benjy_star

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Et il ne faut pas de point pour définir un vecteur,

Mais il est écrit ici qu'un vecteur localisé est un couple de points ...

J'ai l'impression que la notion de vecteur en physique est totament différente de la notion de vecteur en mathématique, c'est fou ...

merci

[invitef591ed4b]

La définition ne parle pas de "points qui localisent un vecteur" (d'ailleurs cette expression est assez confuse), mais plutôt de "vecteur localisé en un point".

Un vecteur localisé en un point P n'est rien d'autre qu'un vecteur dont le point d'application est P (classiquement parlant).

Un champ de vecteurs (sur une variété), c'est la donnée d'un vecteur localisé en chaque point de l'espace (de la variété).

Voici donc un champ de vecteurs :



En chaque point de ce plan, il y a un vecteur qui y est localisé.

Une manière autre de le voir, c'est de considérer une application vectorielle (en dimension 3 par ex) :



En chaque point est associé un vecteur de composantes

[invitea29d1598]

bonjour,

Qu'est ce que ça veut dire ? Il faut tout de même deux points pour localisé un vecteur ...

absolument pas. Le vecteur n'existe pas dans "l'espace physique" mais dans un espace vectoriel qui s'ajoute à l'espace physique. Pour un champ vectoriel, il faut que tu imagines un espace vectoriel en chaque point de l'espace. Pour avoir une idée de cela, représente-toi une voiture se déplaçant sur la Terre. L'espace dans lequel la voiture vit, c'est la surface de la Terre. Mais sa vitesse à un instant donné est un vecteur qui ne vit pas dans le même espace : ce vecteur est tangent à la sphère et si on trace une droite qui a ce vecteur comme vecteur directeur, elle finit par se détacher de la Terre... le vecteur ne vit donc pas dans le même espace que la voiture... (y'a des définitions propres de tout ça, mais c'est un peu complexe...)

dernière remarque : le hic, c'est que ce dont je viens de te parler, on l'oublie souvent car dans les cas les plus simples l'espace dans lequel vit la voiture est "identique" par ses propriétés à celui où vit la vitesse...

par ailleurs, indépendamment de ça, il est faux de dire qu'un vecteur demande "deux points pour être localisé". Par définition, un vecteur est un point d'un espace vectoriel. Si tu l'imagines comme une flèche allant dun' origine donné à un point qui détermine le vecteur, alors il te faut deux points effectivement. Mais en faisant ça tu mélanges la notion d'espace vectoriel à celle d'espace affine... relis les définitions de base.

[edit] croisement avec Coincoin, Sephi, etc...

[invitea29d1598]

J'ai l'impression que la notion de vecteur en physique est totament différente de la notion de vecteur en mathématique, c'est fou ...

absolument pas, on peut montrer qu'elles sont équivalentes même si elles peuvent sembler différentes...

[Bleyblue]

Un vecteur localisé en un point P n'est rien d'autre qu'un vecteur dont le point d'application est P (classiquement parlant).

Un champ de vecteurs (sur une variété), c'est la donnée d'un vecteur localisé en chaque point de l'espace (de la variété).

Ah oui alors ok, la je comprend

Par définition, un vecteur est un point d'un espace vectoriel. Si tu l'imagines comme une flèche allant dun' origine donné à un point qui détermine le vecteur, alors il te faut deux points effectivement.

Je n'ai pas encore étudier les espaces vectoriels, mais pour moi un vecteur ça a toujours été une flèche ayant une origine et une extrémité.
Il y a un autre moyen de définir un vecteur ?

merci

[invitec314d025]

Je n'ai pas encore étudier les espaces vectoriels, mais pour moi un vecteur ça a toujours été une flèche ayant une origine et une extrémité.
Il y a un autre moyen de définir un vecteur ?

Regarde dans la bibliothèque.
En mathématiques, un vecteur se définit uniquement comme un élément d'un espace vectoriel, et si tu as un espace vectoriel de fonctions, ton vecteur sera une fonction. La nature des éléments n'est pas importante, c'est la structure algébrique de l'ensemble qui compte (un ensemble muni d'opérations internes comme l'addition, etc).

[invitef591ed4b]

Ben une autre définition d'un vecteur, c'est en tant qu'élément d'un espace vectoriel.

Un espace vectoriel, en très grosso modo, c'est un espace où chaque élément est appelé vecteur, et où :
- il existe un vecteur nul (l'origine)
- la somme de deux vecteurs est toujours un vecteur
- la multiplication d'un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur.

Le fait qu'il y ait une origine (le vecteur nul) fait que dans un espace vectoriel de dimension n, il suffit de donner un seul point (qui est un n-uple) pour définir un vecteur. Ainsi, "tous les vecteurs d'un espace vectoriel sont localisés en l'origine".

Ensuite, quand on parle de vecteur sur une variété, en général ce vecteur est tangent à la variété et n'est pas contenu en elle. Par exemple, si tu considères une sphère, un vecteur localisé en un point de la sphère lui est tangent et n'appartient pas à la sphère*. En fait, un tel vecteur appartient au plan 'espace tangent à la sphère, au point considéré. Ce plan tangent est un espace vectoriel (de dimension 2).

Voilà un lien grossier entre espace vectoriel et vecteur physique.


____________________
* Il faut oublier que la sphère est plongée dans lR^3 et ne considérer que la sphère en tant que telle.

[Bleyblue]

Un espace vectoriel, en très grosso modo, c'est un espace où chaque élément est appelé vecteur, et où :
- il existe un vecteur nul (l'origine)
- la somme de deux vecteurs est toujours un vecteur
- la multiplication d'un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur.

Le fait qu'il y ait une origine (le vecteur nul) fait que dans un espace vectoriel de dimension n, il suffit de donner un seul point (qui est un n-uple) pour définir un vecteur. Ainsi, "tous les vecteurs d'un espace vectoriel sont localisés en l'origine".

Ah oui alors ok. S'il y a une origine ça fait bien deux points ...

En mathématiques, un vecteur se définit uniquement comme un élément d'un espace vectoriel

Ah bon, il n'empêche que dans le cours que j'ai ici, on définit dabord les vecteurs. Les espaces vectoriels ne sont introduit qu'au chapitre suivant ...

merci

[invitef591ed4b]

Alors tu verras au chapitre suivant qu'un vecteur, c'est surtout un élément d'un e.v.

[Bleyblue]

D'accord
Quoique je ne compte pas étudier le cours en détails (c'est le cours de 1ère année d'informatique, à l'ULB, tu le connais celui la )

merci

[invitec314d025]

Ah bon, il n'empêche que dans le cours que j'ai ici, on définit dabord les vecteurs. Les espaces vectoriels ne sont introduit qu'au chapitre suivant ...

Je suppose que les vecteurs dont tu parles sont des vecteurs dans un espace euclidien de dimension finie, avec une interprétation géométrique, mais on peut faire plus général.

[Bleyblue]

En effet il est précisé "dans un espace Euclidien"
Mais dites, c'est quoi un espace euclidien ? Un espace ou le postulat d'Euclide est d'application ?

[Bleyblue]

En cherchant sur google j'ai trouvé :

" Un espace euclidien est défini de nos jours comme un espace vectoriel normé de dimension finie et dont la norme est héritée d'un produit scalaire. On a coutume de penser l'espace où nous évoluons, notre espace physique, comme un espace euclidien de dimension 3. "

Donc en fait c'est un espace vectoriel et je ne comprend même pas ce qu'il a de particulier. Bouh, c'est tellement vaste les math, j'ai l'impression que j'arriverais jamais à assimiler tout ça ...

[BioBen]

Oui, un espace créé à partir des axiomes d'Euclide :
http://www.sciences.ch/htmlfr/geomet...lidienne01.php (un peu de pub pour l'excellent site d'isozv).

EDIT : Ce qu'il a de aprticulier par exemple c'est que le chemin le plus court pour relier deux points est la ligne droite, que la somme des angles d'un triangle vaut 180°,... ce qui est faux dans d'autres géomètries.

[Bleyblue]

Ben moi Sephi m'a expliqué ce qu'est la géométrie euclidienne.
Mais je ne sais pas ce que c'est précisément qu'un "espace" ...

[Bleyblue]

Oui bon en fait un espace euclidien c'est bêtement un espace à n dimensions dans lequel la géométrie euclidienne est d'application. Oui ou non ?

merci

[invitec314d025]

Oui bon en fait un espace euclidien c'est bêtement un espace à n dimensions dans lequel la géométrie euclidienne est d'application. Oui ou non ?

Un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire euclidien (le produit scalaire usuel). Ce produit scalaire permet de définir une norme et donc une distance (la distance euclidienne qui est celle que l'on utilise le plus souvent). Ca permet effectivement de reconstruire la géométrie euclidienne.
Mais attention, ici on parle d'espace vectoriel, pas d'espace affine, donc une droite est définie uniquement par sa direction (un vecteur directeur).

[invitef591ed4b]

La géométrie euclidienne est la géométrie classique dans un espace plat.

Un espace euclidien est un espace vectoriel muni du produit scalaire euclidien (= prod scal classique du lycée), et donc d'une distance euclidienne (= racine du prod scal).

Une fois qu'on a cela, on comprend ce que "plat" signifie : c'est que le chemin de longueur minimale (longueur calculée grâce à la distance ...) qui relie deux points, c'est toujours la ligne droite. Donc, "tout est droit" (haha).

Contrairement à une géométrie non-euclidienne qui travaille avec des espaces courbes, càd que le chemin le plus court entre deux points n'est pas la ligne droite (exemple : la sphère).

[inviteaba0ef6b]

Salut,
tu as raison pour tes deux points: pour dire ou est ta fleche tu dois avoir une coordonee pour le fond de ta fleche et une autre pour le bout.


Maintenant si tu as une fleche dans les mains et qu on te montre une fleche n importe ou tu es d accord que tu peut mettre la tienne dans la meme position que celle qu on te montre? Ben un vecteur à la base c est la fleche que t as dans la main, que tu garde sur toi... pour celle-la t as besoin que d une coordonnee: le bout de ta fleche!

(ça c pour la version plutot math, espace vectoriel et touti quanti)


" En physique sont utilisés des champs de vecteurs consistant en la donné d'un vecteur localisé en chaque point de la partie de l'espace considérée "

Dans l exemple que t a donné qqun avant : d acc que tu représente la vitesse avec une fleche? mais cette fleche represente la vitesse D'UN point (un point -> quelle vitesse? -> une fleche "dans ta main" -> t attache la fleche sur le point pour "voir" la vitesse)

(la c est plutot physique, pour deplacer les fleches et tout)

[Bleyblue]

(bon, on va faire comme si j'avais compris ) ahhhhh un espace euclidien, je vois maintenant

Non, blague à part, je comprend mais ça me semble toujours affreusement flou.
Pourriez vous me donnez un exemple d'espace vectoriel qui ne soit pas euclidien ?

merci

[Bleyblue]

Maintenant si tu as une fleche dans les mains et qu on te montre une fleche n importe ou tu es d accord que tu peut mettre la tienne dans la meme position que celle qu on te montre? Ben un vecteur à la base c est la fleche que t as dans la main, que tu garde sur toi... pour celle-la t as besoin que d une coordonnee: le bout de ta fleche!

(ça c pour la version plutot math, espace vectoriel et touti quanti)


" En physique sont utilisés des champs de vecteurs consistant en la donné d'un vecteur localisé en chaque point de la partie de l'espace considérée "

Dans l exemple que t a donné qqun avant : d acc que tu représente la vitesse avec une fleche? mais cette fleche represente la vitesse D'UN point (un point -> quelle vitesse? -> une fleche "dans ta main" -> t attache la fleche sur le point pour "voir" la vitesse)

(la c est plutot physique, pour deplacer les fleches et tout)

Merci bcp, mais je péfère voir ça sous l'angle mathématique.
Ce que tu me dis la on me l'a déja répété maintes fois lorsque j'étais au lycée, c'est quand il faut calculer avec que ça me pose problème

[invitef591ed4b]

Pourriez vous me donnez un exemple d'espace vectoriel qui ne soit pas euclidien ?

Les solutions d'une équation différentielle ordinaire forment un espace vectoriel.

[Bleyblue]

Ouille ouille. Les solutions de y" + 2y' + y = 0 ça forme un espace vectoriel ...
Mais je ne vois pas le rapport avec les vecteurs ...

merci

[invitef591ed4b]

Là c'est clair qu'il te sera plus difficile de faire le lien entre une fonction, et une flèche dans l'espace.

Mais ces fonctions ont les mêmes propriétés, à savoir que toute combinaison linéaire de solutions reste une solution (de même que toute combinaison linéaire de vecteurs géométriques reste un vecteur géométrique).

En fait, la géométrie "à la fac" dévie rapidement vers l'algèbre, on ne fait plus de géométrie avec des équerres ni avec les yeux, mais surtout avec de l'algèbre et des calculs. Un espace vectoriel est une structure algébrique avant tout, et non géométrique ... mais elle permet de manier des vecteurs de manière tellement plus efficace.

[Bleyblue]

Pardon d'être si ignorant mais c'est quoi une combinaison linéaire ?
linéaire c'est synonyme d'algébrique ?

merci

[invitef591ed4b]

Considère un ensemble de vecteurs {v1,v2,v3}.

Une combinaison linéaire de ces vecteurs, c'est tout vecteur w de la forme :

w = X·v1 + Y·v2 + Z·v3

où X, Y et Z sont des scalaires.

Grosso modo, un espace vectoriel, c'est un ensemble d'éléments (appelés vecteurs) muni de deux opérations + et · qui sont telles que toute combinaison linéaire des éléments de l'espace vectoriel donne toujours un élément de cet espace.