Existence et unicité des solutions aux équations de maxwell

[invite88a9e655]

Salut,
Je sors de deux ans de prépa PSI, et un truc me chagrine, et vu que je reverrai plus ces équations de ma vie (je pars en école d'info) je me tourne vers vous pour lever ce problème. On a utilisé tout au long de l'année les équations de Maxwell, mais comment est ce qu'on sait que les solutions existent et sont uniques, moyennant des conditions initiales et aux limites adaptées ? (c'est à dire, que ces équations disent tout ce qu'il y a à savoir sur les champs et qu'elles ne sont pas contradictoires)
Pour rappel si un mathématicien qui n'a jamais fait de physique passe par là, les quatre équations de Maxwell sont :
divE = p/e0
rotE = -dB/dt
divB = 0
rotB = u0 j + e0u0 dE/dt
e0 et u0 sont des constantes, E et B des champs vectoriels dépendant de la position et du temps, et on va supposer que p et j sont connus en tout point à tout instant, sinon ca fout la merde.
J'ai googlé et rien trouvé, ainsi que cherché par moi même : j'ai un bout de solution qui dit que connaître le rotationel et la divergence d'un champ de vecteur c'est le connaître tout entier, mais même de ca je ne suis pas très sûr : ca utilise des théorèmes que je sors de google et que je ne maitrise pas (décomposition d'un champ de vecteur en une somme de gradient et de rotationel, et existence et unicité des solutions de l'équation de Poisson)
Quelqu'un peut aider ?
Merci d'avance

(PS : j'ai hésité entre mettre ca dans la catégorie physique ou mathématiques, mais bon splus des maths quand même)
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[invitea29d1598]

salut,

une chose à voir c'est que ton système comporte 2 types d'équations : des équations du genre évolution et des équations du genre "contrainte" (c'est le terme utilisé dans ce contexte). Si tu sépares bien tout ça tu peux formuler un problème de Cauchy pour certaines équations et montrer que d'autre part si les contraintes sont vérifiées initialement, alors elles le restent au cours de l'évolution. Le thèorème d'Helmholtz peut en effet aider à manipuler tous ces gens-là...

m'enfin, après il te faut encore diverses hypothèses (en particulier sur les sources et les conditions limites) si tu veux être rigoureux...

[edit] un lien pour te montrer un peu la complexité du truc si tu cherches à être propre et général... http://www-rocq.inria.fr/poems/maxwe...nsitoire.ps.gz

[reedit] j'ai oublié de te parler du gros problème : l'invariance de jauge... si tu cherches sur google avec tout ça tu trouveras des choses, mais j'ai peur que ça ne soit souvent formulé de manière quadridimensionnelle et/ou avec des formes...

[invite93279690]

salut,

une chose à voir c'est que ton système comporte 2 types d'équations : des équations du genre évolution et des équations du genre "contrainte" (c'est le terme utilisé dans ce contexte). Si tu sépares bien tout ça tu peux formuler un problème de Cauchy pour certaines équations et montrer que d'autre part si les contraintes sont vérifiées initialement, alors elles le restent au cours de l'évolution. Le thèorème d'Helmholtz peut en effet aider à manipuler tous ces gens-là...

m'enfin, après il te faut encore diverses hypothèses (en particulier sur les sources et les conditions limites) si tu veux être rigoureux...

[edit] un lien pour te montrer un peu la complexité du truc si tu cherches à être propre et général... http://www-rocq.inria.fr/poems/maxwe...nsitoire.ps.gz

[reedit] j'ai oublié de te parler du gros problème : l'invariance de jauge... si tu cherches sur google avec tout ça tu trouveras des choses, mais j'ai peur que ça ne soit souvent formulé de manière quadridimensionnelle et/ou avec des formes...

Ouah effectivement c'est compliqué (plus encore que ce qu'on trouve dans le Jackson !!)..

[invite88a9e655]

Merci d'avoir répondu

J'ai pas bien compris le coup des équations d'évolution et de contraintes. Les équations d'évolutions seraient les équations de rotationels, et les contraintes celles de divergence ? Ca coincide avec un autre problème que j'ai. Pour mon TIPE, j'ai fait une simulation informatique de l'équation des ondes, par différences finies. En gros, c'est comme la méthode d'euler qu'on a vue en terminale. Mais justement, qu'est ce qui m'empêche d'utiliser cette méthode pour simuler les champs E et B en utilisant uniquement les équatinos aux rotationels et en laissant tomber les divergences ? En partant des données initiales, à chaque étape on évalue rotE, rotB et les courants, et on les insère dans les équations aux rotationels pour en déduire dE/dt et dB/dt, qui permettent d'obtenir E et B de l'étape suivante, et on continue ... Seul problème, ca zappe complètement les deux autres équations, et en particulier ca donne des champs qui ne dépendent pas du tout de la charge initiale.
Pareil, dans le cours en postcript que tu as filé, ils éliminent rapidement la charge et le divB=0, en disant notamment que l'équation divE=p/e0 est la définition de la charge, ce qui leur permet de se concentrer sur un genre d'équation d'ondes à laquelle ils appliquent un genre de théorème de cauchy lipschitz, apparemment. Mais il peut y avoir des charges présentes dans le domaine qui modifient les champs, comme en électrostatique, non ?

Et l'invariance de gauge, j'ai cherché ca, ca parle de symétries ou je sais pas trop quoi, j'y comprends rien mais ca a pas de rapport avec le sujet, si ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

J'ai pas bien compris le coup des équations d'évolution et de contraintes. Les équations d'évolutions seraient les équations de rotationels, et les contraintes celles de divergence ?

oui, ça revient à ça

Mais justement, qu'est ce qui m'empêche d'utiliser cette méthode pour simuler les champs E et B en utilisant uniquement les équatinos aux rotationels et en laissant tomber les divergences ?

rien. Sauf que :

- analytiquement, les "contraintes" restent vérifiées comme je te l'ai dit

- numériquement, tu introduis des erreurs et par exemples des monopoles magnétiques (non physiques) apparaissent, rendant ton champ B à divergence non-nulle. Il faut donc feinter, par exemple en travaillant avec A

En partant des données initiales, à chaque étape on évalue rotE, rotB et les courants, et on les insère dans les équations aux rotationels pour en déduire dE/dt et dB/dt, qui permettent d'obtenir E et B de l'étape suivante, et on continue ... Seul problème, ca zappe complètement les deux autres équations, et en particulier ca donne des champs qui ne dépendent pas du tout de la charge initiale.

y'a plusieurs problèmes sous-jacents :

- si tes charges sont fixes, tu résouds initialement, puis les contraintes sont vérifiées par construction et prise en compte de conditions limite. Aux erreurs numériques près

- si tes charges sont mobiles ou variables, faut que tu résolves aussi les équations qui vont avec (MHD par exemple)

Pareil, dans le cours en postcript que tu as filé, ils éliminent rapidement la charge et le divB=0, en disant notamment que l'équation divE=p/e0 est la définition de la charge, ce qui leur permet de se concentrer sur un genre d'équation d'ondes à laquelle ils appliquent un genre de théorème de cauchy lipschitz, apparemment. Mais il peut y avoir des charges présentes dans le domaine qui modifient les champs, comme en électrostatique, non ?

oui, mais pas n'importe comment : les charges sont soit fixes, soit obéissent à une loi de conservation qui est compatible avec les équations de Maxwell. Mais dans ce cas on résoud plus (cherche par exemple les équations de la MHD ou celles de Vlasov-Maxwell)

Et l'invariance de gauge, j'ai cherché ca, ca parle de symétries ou je sais pas trop quoi, j'y comprends rien mais ca a pas de rapport avec le sujet, si ?

si, si... le fait que pour des couples différents de potentiels A et V tu as les mêmes champs E et B est lié à l'existence de cette symétrie. Mathématiquement, ça veut dire que si tu travailles avec A et V (pour eviter de perdre la divergence nulle de B par exemple), ton système n'est pas bien déterminé et tu dois ajouter une équation en plus (faire un choix de jauge)

pas le temps de détailler plus, mais avec divers mots-clés que j'ai semé à droite et à gauche tu devrais trouver des trucs si tu cherches...

wiki

[invite88a9e655]

D'accoooooooord ... donc divB = 0 "ne sert à rien", c'est juste une condition sur l'état initial, et, si on enlève cette équation, des monopoles ne peuvent pas se créer spontanément ? Autrement dit, il est prouvable mathématiquement que si on suppose que divB = 0 à l'état initial et qu'on considère des champs évoluant selon les lois d'évolution, il reste divB = 0 à tout instant ? Et pareil pour maxwell-gauss ...

Merci beaucoup en tout cas, j'avais pas du tout compris le coup des équations d'évolution et de contraintes, mais ca explique tout ^^

Quand à l'invariance de jauge, elle ne concerne que les potentiels, non ? Ben oui quand on définit des potentiels c'est pas de manière unique, mais je vois pas en quoi c'est important (à vrai dire, j'ai toujours pas vu l'utilité noatmment du potentiel vecteur A, à part "on peut le définir pasque divB=0 et ca fait joli"). Tout ce que je trouve sur l'invariance de jauge, c'est soit "V et A sont définis à des trucs près" soit des trucs bien trop compliqué pour moi qui causent d'algèbre.

[invitea29d1598]

D'accoooooooord ... donc divB = 0 "ne sert à rien", c'est juste une condition sur l'état initial, et, si on enlève cette équation, des monopoles ne peuvent pas se créer spontanément ? Autrement dit, il est prouvable mathématiquement que si on suppose que divB = 0 à l'état initial et qu'on considère des champs évoluant selon les lois d'évolution, il reste divB = 0 à tout instant ? Et pareil pour maxwell-gauss ...

si tu joues un peu avec les équations, tu prouveras toi-même en 3 lignes (voire 2) que si la condition div = 0 est vérifiée initialement, elle le reste. Quant à l'équation de Maxwell-Gauss, tu pourras montrer que pour qu'elle reste valable, la charge électrique doit vérifier une équation qui est justement celle de sa conservation.

Merci beaucoup en tout cas, j'avais pas du tout compris le coup des équations d'évolution et de contraintes, mais ca explique tout ^^

après coup je me dis que j'ai quand même pas été clair du tout dans mes explications, désolé...

Quand à l'invariance de jauge, elle ne concerne que les potentiels, non ?

oui, et c'est plutôt une complication inutile ici, désolé... le seul truc c'est que les équations portant sur les potentiels sont généralement préférées (cf ce que tu fais quand tu calcules le champ électrique lié à une distribution de charge).

Ben oui quand on définit des potentiels c'est pas de manière unique, mais je vois pas en quoi c'est important (à vrai dire, j'ai toujours pas vu l'utilité noatmment du potentiel vecteur A, à part "on peut le définir pasque divB=0 et ca fait joli"). Tout ce que je trouve sur l'invariance de jauge, c'est soit "V et A sont définis à des trucs près" soit des trucs bien trop compliqué pour moi qui causent d'algèbre.

bah en fait c'est fondamental en physique moderne même si un peu complexe... pour résumer, toutes les interactions fondamentales sont des interactions qui présentent une invariance de jauge. Par ailleurs, l'existence d'une telle invariance est liée au fait que quand tu travailles avec les trucs mesurables (E et B ici), tu dois résoudre un système d'EDP avec contraintes : initialement tu as 6 variables (6 composantes de tes 2 vecteurs) mais plus de 6 équations.