Produit de Cauchy de 2 series

[Gpadide]

Bonjour,
voici l'exercice :
soit u_n le terme général d'une serie absolument convergente et t appartenant a ]0,1[. Pour n de N :


Montrer que
converge absolument et que sa somme vaut :1/t*somme des u_n
J'ai identifié v_n comme un produit de cauchy en posant : b_(n-k)=u_k et a_k= tout ce qui est facteur de u_k sous la parenthese.
D'apres un theoreme du cours, cette serie de Cauchy converge et a pour somme le produit des sommes. Or avec cette methode je trouve que les sommes de u_n et v_n sont egales.Il ya une erreur qq part mais ou ?
Je pense que c'est qd je me suis servi de la formule du binome : je trouve que la somme vaut 1^n et ne dépend pas de t...
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[invite455504f8]

je n'ai pas l'impression que ça se présente directement comme une série produit: le terme a_k n'est pas le terme d'une série convergente, il y a un 'n' dedans alors si tu fais la somme de k à l'infini ça diverge: tu as seulement

[invite455504f8]

Bonjour,
voici l'exercice :
soit u_n le terme général d'une serie absolument convergente et t appartenant a ]0,1[. Pour n de N :


Montrer que
converge absolument et que sa somme vaut :1/t*somme des u_n

je pense que j'ai trouvé:
d'abord j'écris:

ce n'est pas évident, mais tu peux voir le vecteur
comme le résultat de l'action de la matrice (pour k<=n) sur le vecteur
la somme de la série c'est le produit scalaire où
donc tu as: où A' est la matrice transposée: c'est ce dernier produit scalaire que j'exprime.
Maintenant il reste à évaluer
Pour cela, je définis: (pour t différent de 0)
puis tu dérives p fois f(t); ça te donne

et donc:
et le résultat que tu voulais....
pfff
pas évident...

[Gpadide]

je n'ai pas l'impression que ça se présente directement comme une série produit: le terme a_k n'est pas le terme d'une série convergente, il y a un 'n' dedans alors si tu fais la somme de k à l'infini ça diverge: tu as seulement

C'est ca que je comprends pas, pour moi, si tu sommes de k a +inf, les termes pour k>n s'annulent a cause des coefficients binomiaux, donc il n'ya qu'un nombre fini de termes dans la somme...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite455504f8]

ben je t'ai proposé une solution....

[Gwyddon]

C'est ca que je comprends pas, pour moi, si tu sommes de k a +inf, les termes pour k>n s'annulent a cause des coefficients binomiaux, donc il n'ya qu'un nombre fini de termes dans la somme...

Mais ça n'a aucun sens, le terme général de ta série c'est en fonction de quoi ? De n ? De k ? Ce que tu proposais avait un gros problème qui tenait au fait que dans ton a_k il y a des n qui traînent, ta définition n'est pas cohérente (ça n'en fait pas un terme général de suite). Si on remet ça en forme (et ce n'est pas évident), tu te rends compte que plus tu sommes, plus tu fais grandir les C(n,k) et donc la somme diverge (puisque C(n,k) dépend.. de n, indice de sommation !)

[invite455504f8]

euh...personne veut regarder ma soluce? mince j'y ai passé du temps....

[GuYem]

Moi elle me plait bien ta solution feldid, je crois que c'est plus ou moins ce qu'on attend dans l'exercice.

[invite455504f8]

merci

[Gwyddon]

Ah oui désolé, bon bah

Mais ce n'était pas à toi de le faire non ?

[invite455504f8]

euh oui c'est vrai
je me suis cru reparti en taupe...
mais Gpadide est passé à autre chose de toute façon