Nature d'une surface (quadrique)

[invite2a245378]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème concernant l'exercice suivant:
J'ai une surface d'équation (je dois déterminer sa nature):
(b²+c²)x²+(c²+a²)y²+(a²+b²)z²= 2(abxy+bcyz+cazx) +h²
où a,b,c,h sont des paramètres et a²+b²+c²=1

J'ai déterminé la matrice correspondante:
b²+c² -ab -ca
-ab c²+a² -bc =M
-ca -bc a²+b²

Le problème c'est que je dois déterminer les valeurs propres de cette matrice mais j'ai eu beau faire des tas d'opérations élémentaires, en vain,..... pas moyen de trouver le polynome caractéristique (det(M-XI3)).
Est-ce que quelqu'un aurait des indications à me donner pour essayer d'avoir le moins de calculs possibles (autre que Sarrus si possible mon prof ne supporte pas cette méthode ^^)?

Merci d'avance
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[invitedef78796]

Salut,

Des fois quand rien ne marche, rien ne vaut une petite tentative à la main : pourquoi n'essayes tu pas certaines valeurs propres potentielles en regardant le déterminant correspondant (tu te donnes pour voir et tu calcule un déterminant .

PS : n'oublie pas que ça peut aider.

[invite455504f8]

tu peux simplifier un peu en remarquant que M s'écrit: Id-P où P est une matrice un peu plus simple
Maintenant tu peux chercher à déterminer un vecteur propre de P directement: écrit PX=k X tu devrais rapidement remarquer que k=1 est une valeur propre et trouver des indications sur les autres espaces propres....

[invite914a6080]

Bien on te demande pas forcément de déterminer les valeurs propres mais de dire si elle existe, si elle sont égale etc...
Tu peux déja dire qu'il y en a :
La matrice est symétrique réelle donc elle est diagonalisable... Ya pas mal de résultat là dessus

ensuite ou sinon (si ce qui précède est du chinois), tu écris que ta matrice est égale à:



On voit que chaque collone de la matrice est colinéaire à :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Ce que tu écris là, c'est la matrice M - I, dont le déterminant vaut 0, donc 1 est valeur propre mais la matrice n'est pas forcément singulière.