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Centre d'une conique/quadrique



  1. #1
    Gpadide

    Centre d'une conique/quadrique


    ------

    Bonjour,

    je voudrais savoir quel argument justifie que l'on trouve les coordonnées du centre d'une quadrique (ou d'une conique) en écrivant que les dérivées partielles par rapport a chaque variable calculées en ce point sont nulles.
    Merci.

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Centre d'une conique/quadrique

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Bonjour,

    je voudrais savoir quel argument justifie que l'on trouve les coordonnées du centre d'une quadrique (ou d'une conique) en écrivant que les dérivées partielles par rapport a chaque variable calculées en ce point sont nulles.
    Merci.
    L'idée géométrique est celle-ci (on peut aussi le faire algébriquement) :
    Si on une conique ax²+xy+cy²+dx+ey+f=0 la nature et l'éventuel centre de celle-ci ne dépend pas de f. (algébriquement montrer que d=e=0 équivaut que l'origine est le centre)
    Les lieus d'équation f(x,y)=ax²+xy+cy²+dx+ey=k sont des coniques disjointes de même centre quand elles ne sont pas vides ou réduites à un point.
    Tout point (x0,y0) est sur une (seule) de ces coniques (ax²+xy+cy²+dx+ey=f(x0,y0)) la normale est donnée par les dérivées partielles. En un point qui n'est pas le centre, cette normale n'est pas le vecteur nul donc au moins une dérivée partielle ne s'annule pas.
    Donc si les dérivées partielles s'annulent en un point celui-ci est nécessairement le centre.

  3. #3
    Taar

    Re : Centre d'une conique/quadrique

    Salut !

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Bonjour,

    je voudrais savoir quel argument justifie que l'on trouve les coordonnées du centre d'une quadrique (ou d'une conique) en écrivant que les dérivées partielles par rapport a chaque variable calculées en ce point sont nulles.
    Merci.
    Une autre façon de faire, non géométrique (je note f le polynôme définissant la quadrique/conique) ; c'est incomplet mais c'est une idée :

    est un polynôme de degré 2 en les coordonnées de et s'écrit est une constante, une forme linéaire et une forme quadratique. C'est l'analogue de Taylor à plusieurs variables, sauf qu'il n'y a pas de terme de degré supérieur.

    Tu as alors (les autres termes disparaissent). Donc (modulo des arguments pour éviter d'avoir avec ) pour que soit centre de symétrie, il faut et il suffit que soit nulle.

    Par identification (ou bien en pensant à Taylor) on constate que les coefficients de sont les dérivées partielles de en .

    Bien sûr, en l'état ça ne tient pas la route mais c'est une idée.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 19/06/2007 à 18h29.

  4. #4
    Gpadide

    Re : Centre d'une conique/quadrique

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    L'idée géométrique est celle-ci (on peut aussi le faire algébriquement) :
    Si on une conique ax²+xy+cy²+dx+ey+f=0 la nature et l'éventuel centre de celle-ci ne dépend pas de f. (algébriquement montrer que d=e=0 équivaut que l'origine est le centre)
    Les lieus d'équation f(x,y)=ax²+xy+cy²+dx+ey=k sont des coniques disjointes de même centre quand elles ne sont pas vides ou réduites à un point.
    Tout point (x0,y0) est sur une (seule) de ces coniques (ax²+xy+cy²+dx+ey=f(x0,y0)) la normale est donnée par les dérivées partielles. En un point qui n'est pas le centre, cette normale n'est pas le vecteur nul donc au moins une dérivée partielle ne s'annule pas.
    Donc si les dérivées partielles s'annulent en un point celui-ci est nécessairement le centre.
    Mais le centre n'est pas un point de la conique si ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    homotopie

    Re : Centre d'une conique/quadrique

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Mais le centre n'est pas un point de la conique si ?
    Dans le cas général non mais celle-ci pourrait être dégénérée (deux droites, cas d'une famille d'hyperbole, un point cas d'une famille d'ellipse)

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