Equations algébriques

[invite52487760]

Bonsoir:
Dans certains ouvrages, on voit écrire qu'il n'existe pas de formule par radicaux permettant de resoudre systématiquement les équations de 5 eme degré ou superieure ... Est ce que celà signifie que ces equations ne peuvent admettre définitivement des formules comme solutions , ou bien, pour le temps actuel, personne n'a reussi à les trouver et celà n'empêche pas qu'à l'avenir ,ils peuvent exister des solutions de ces equations... et merçi infiniment !!
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[Médiat]

Bonsoir:
Dans certains ouvrages, on voit écrire qu'il n'existe pas de formule par radicaux permettant de resoudre systématiquement les équations de 5 eme degré ou superieure ... Est ce que celà signifie que ces equations ne peuvent admettre définitivement des formules comme solutions , ou bien, pour le temps actuel, personne n'a reussi à les trouver et celà n'empêche pas qu'à l'avenir ,ils peuvent exister des solutions de ces equations... et merçi infiniment !!

C'est définitif, pour les équations générales de d° >= 5.

[invite4ef352d8]

enfait cela dépend ce que tu apelle par "formule"


il est prouvé qu'il n'existe pas de forumue n'utilitsant que les opération de bases et des racines (caré, 3e... n-iemme) pour résoudre les équation de degré 5 (et a forciori supérieur ou égal a 5...)


cependant rien ne dit qu'il n'existe pas de formule pouvant les résoudre. par exemple il existe plusieur formulaire pour la résolution des équations de de degré 5 utilisant soit les radicaux de bring (une recherche sur wikipédia te renseignera) soit les fonction elliptiques et modulaire "usuelle" (la en revanche j'ai aucune réference la dessu... si qqn en a sa m'interesse^^)

[invite52487760]

Certains disent que pour comprendre ces équations algebriques qui s'ecrivent comme ça : avec ... il faut connaitre par coeur le cours sur la théorie de Galois et le cours sur la théorie des anneaux et la théorie des corps... et en réalité on ne voit aucun rapport entre ces équations et ces types de cours ... Quant on étudie la théorie des anneaux et la théorie des corps , on a l'impression qu'on est entrain d'étudier de l'arithmetique et la théorie des nombres sur , et et que pour trouver des solutions, il faut peut être d'autres corps qu'on connait pas pour l'instant et peut etre de manière analytique comme c'est le cas pour l'analyse complexe qui a conduit à resoudre l'équation de type avec ... et je ne vois pas comment celà conduira à decouvrir de manière systématique la solution à ces équations à l'aide de la théorie des nombres... c'est quoi votre avis ?!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Médiat, je ne crois pas que c'est definitif, parceque chaque equation polynomial de degré n admet au moins n solutions et pour exprimer ces solutions, il faut evidemment des formules qu'on connait pas pour l'instant !!

[invite4ef352d8]

je comprend pas trop ce que tu veux dire.


le résultat d'abel dit qu'il existe des équation de degré 5 dont les solutions ne s'exprime pas par des radicaux (ie des opération usuelle et des racines n-iemme) c'est tous.

mais ces équations ont bien des solution. par exemple l'équation x^5-x+1 fait parti de ces équation a ne pas etre soluble par radicaux. mais elle a bien des solutions : une solution réel et 4 solutions complexe.
et on pourait ce placer sur la Q-algèbre engendré par 1 et les 5 racines de cette équations (sauf erreur c'est un corps, et c'est de dimension finit sur Q) et la on a un corps ou ton équation a des solutions...


ca n'a rien avoir avec le cas de z^n = a qui n'avait pas solution sans passer dans C.


de toute facon, quelque part on ne sait pas mieux résoudre x^5-x+1=0 que x²-2=0... dans le sens ou les solutions de x²-2=0 sont sqrt(2) et -sqrt(2), et que la définition de sqrt(2) c'est justement que c'est la racines positive de x²-2...

[invitebe0cd90e]

et au passage, les th d'abel et galois disent qu'on ne peut pas en général exprimer les solutions d'une equation de degré superieur a 5 par des radicaux. les radicaux sont donc "un certain type" de formule, mais ca ne veut pas dire qu'il n'existe pas de formule general utilisant des choses plus complexes..

et c'est bien la theorie de galois qui est derriere, mais si tu n'as pas vu le lien ca va etre dur de t'expliquer en 5 minutes. mais jette un coup d'oeil a http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_résoluble pour avoir qq idees.