Le Retour de la Vengeance des Entiers Algébriques...

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

J'avais fait un post similaire il y a quelque temps, et les réponses que j'ai eues m'ont pas mal permis d'avancer. Je reposte donc avec quelques éléments nouveaux...

Alors voilà. J'ai un anneau A, de corps des fractions K. Je cherche à décrire, et idéalement à classifier, les sous-anneaux de A qui ont le même K comme corps de fractions. Et s'il y en avait un minimal, dans une acception ou une autre...

Bien évidemment j'ai en tête le cas A = Z et K = Q. On peut donc supposer A unifère, noethérien, principal... ad libitum, comme ça arrange.

Ma motivation vient d'une note historique de Bourbaki, in "Algèbre Commutative, Chapitre 7: Diviseurs", p.119:
"C'est aussi Dedekind qui clarifie le rapport entre un tel anneau et ses sous-anneau ayant même corps des fractions, par l'introduction de la notion de conducteur (Xc)."

Et ladite référence Xc est "Ueber die Anzahl der Ideal-Klassen in der verschiedenen Ordnungen einer endlichen Körpers", vol.I, pp.105-157, Festschrift der Technischen Hochshule in Braunschweig zur Säkularfreier des Geburtstages von C.F.Gauss, 1877).
Sans même faire référence à mon niveau d'allemand, inutile de dire que je n'ai pas trouvé ledit papier...

J'ai cherché dans la catégorie des anneaux ce qui caractérisait les anneaux locaux (un unique idéal maximal) dans l'espoir de prendre un genre de notion duale, mais évidemment ça ne marche pas.

Des idées? Merci!

-- françois
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[inviteca3a9be7]

Salut,


Question très intéressante !

Tu as des exemples simples de tels anneaux ?

L'anneau de C[X] formé des polynômes dont le coefficient de degré 1 est nul marche je crois bien.

D'autres exemples non tirés des polynomes ?

[martini_bird]

Salut,

j'ai trouvé cet exo sur le net : je pense qu'il peut t'intéresser.

Soit une partie multiplicative dans un anneau . Soit un idéal premier de A tel que . Posons . Montrer que induit un isomorphisme , où et est l’image de dans . Montrer que a le même corps de fractions que .

Cordialement.

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Et merci à martini_bird pour ce joli exo! Dont j'avais un analogue dans mon cours d'algèbre non commutative, mais ça fait toujours du bien de se replonger dans ce genre de choses. Et d'ailleurs, je ne l'ai pas encore complètement rédigé, même si je vois assez superficiellement comment ça doit marcher.

Cela dit, ma question tient toujours...

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Rebonjour,

Je suis en train de me replonger dans le Bourbaki d'algèbre commutative. C'est dingue ce qu'on y apprend. Par exemple qu'un anneau intégralement fermé n'est pas forcément complètement intégralement clos dans sa clôture algébrique (je dis n'importe quoi mais c'est l'esprit du bouquin), qu'un anneau factoriel prüférien est principal, et qu'un anneau de Krull pseudo-bezoutien est factoriel...

Rassurez-moi. Je ou c'est Bourbaki?

-- françois

[jeanlouisb]

je voix que vous êtes d'un certain niveau en algèbre.
Peut-être pouvez vous répondre à ma question plus simple sur les générateurs de (Z/pZ)*
Postée vers le 15 avril.
Merci
Jean-Louis

[inviteca3a9be7]

Salut,

Cela dit, ma question tient toujours...

La mienne aussi Des exemples de telles situations (hors polynomes) ? 'erci.

[invite6de5f0ac]

je voix que vous êtes d'un certain niveau en algèbre.
Peut-être pouvez vous répondre à ma question plus simple sur les générateurs de (Z/pZ)*
Postée vers le 15 avril.
Merci
Jean-Louis

Bonjour,

C'est très gentil... Disons que je m'intéresse de très près à l'algèbre, de là à dire que j'ai un certain niveau...
J'ai vu et bien noté la question sur les générateurs de (Z/pZ)*, je n'ai pas encore eu le temps de regarder de trop près, mais ça m'intéresse et je m'en occupe.

La mienne aussi Des exemples de telles situations (hors polynomes) ? 'erci.

Oki, mais des situations de quoi? D'anneaux locaux?

Salut,

-- françois

[martini_bird]

La mienne aussi Des exemples de telles situations (hors polynomes) ? 'erci.

Salut,

l'exo proposé ci-dessus donne justement un exemple, non ? Ou je délire ?

Cordialement.

[invite35452583]

Salut,



La mienne aussi Des exemples de telles situations (hors polynomes) ? 'erci.

Les anneaux des entiers p-adiques des corps p-adiques sont une famille d' exemples hors polynômes.

La question que je me pose moi est de savoir s'il existe un (et "donc" plusieurs) anneau du corps des réels R dont R est le corps de fraction (avec A distinct de R, bien sûr, rien trouvé sur le net sur cette question).

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je trouve cette question très bizarre, homotopie. Si tu considères un anneau A dont le corps des fractions est R, alors cet anneau contient 1, et est inclus dans R. Donc Z est inclus dans A.
De plus, A est clairement un sous groupe additif de R, donc tu sais que son adhérence est R ou un certain aZ, avec a rationnel de la forme 1/p (parce que 1 est dans A).
Si, A = aZ, clairement, ça va pas marcher, le corps des fractions de A va être Q.
Donc A est une partie additive dense de R, qui contient 1.
Bon, d'accord, si A ne contient que des rationnels, son corps des fractions est Q et basta. Mais si A contient un irrationnel b, alors Z + aZ est dans A. Donc son corps des fractions va être au moins Q(a), c'est ça ?
Hum, je comprends mieux la question maintenant, mais j'ai quand même l'impression que ça doit être faisable sans aller chercher des trucs très difficiles, non ?

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rvz

[invite986312212]

une idée:
prendre une base de R comme e.v. sur Q et ensuite l'anneau engendré par ces éléments.
1) montrer que ce n'est pas un corps (et surtout pas R)
2) montrer que son corps des fractions est R
ça vous semble plausible?

[invite6b1e2c2e]

Comme ça, je dirais que ça semble vrai, mais après, l'écrire, je ne saurais pas le faire.

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rvz

[invite986312212]

si on reprend la démonstration de l'existence de bases dans les e.v. généraux à partir du lemme de Zorn, on y considère l'ensemble des familles libres, ordonné par inclusion. Cet ensemble est inductif et donc admet un élément maximal qui sera la base cherchée.
On peut prendre l'ensemble des familles Q-libres L et qui vérifient la propriété supplémentaire: le produit de deux éléments de L est dans L (ou dans le Q e.v. engendré par L).
Cet ensemble est-il inductif?

[invite986312212]

je rectifie:

(ou dans le Q e.v. engendré par L).

lire: ou dans le Z-module engendré par L

l'idée est que si le Z-module engendré par une base de R sur Q est un anneau, ce serait un bon candidat.

[invite6b1e2c2e]

Oui bien sûr.

PS : Je te réponds pour que tu évites le soliloque. Je lis attentivement ce que tu écris, mais je ne vois toujours pas trop comment prouver ce que tu dis.

J'en profite pour demander comment l'existence d'un anneau dont le corps des fractions est R implique qu'il y en a plusieurs. Par des extensions algébriques réélles ?

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rvz, pas vraiment spécialiste en algèbre

[invite35452583]

J'en profite pour demander comment l'existence d'un anneau dont le corps des fractions est R implique qu'il y en a plusieurs. Par des extensions algébriques réélles ?

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rvz, pas vraiment spécialiste en algèbre

A remarquer que "donc" je l'ai mis entre guillemets, ça n'a rien de rigoureux. C'est tout simplement parce que si une construction fonctionne (certainement avec axiome du choix) en modifiant un tout "petit peu" on peut en construire d'autres similaires mais donnant des anneaux différents.

[invite6b1e2c2e]

Tu veux dire que ça marche pas, de rajouter des rééls qui sont pas dedans, mais qui sont solution d'un polynôme ?
Ce que j'ai appelé vulgairement une extension algébrique réélle.
La question cachée est : Est ce que ça peut être algébriquement clos ? Ou intégralement clos puisqu'on considère un anneau ?

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rvz