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Utilité des structures algébriques



  1. #1
    cedbont

    Question Utilité des structures algébriques


    ------

    Je ne suis pas fondamentalement contre l'algèbre, mais j'ai l'esprit un peu terre à terre et je ne vois pas très bien à quoi peuvent servir certaines notions commes les anneaux, les corps ou les espaces vectoriels de dimensions supérieures à 4.
    A faire des thèses?

    Pouvez-vous m'éclairer sur leur utilité? On les enseigne, ça doit bien être pour quelque chose...

    -----

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : Utilité des structures algébriques

    Salut,

    Je pense que ça ne sert "qu'en théorie".
    J'ai vu qu'en cryptographie ça pouvait être utile (système RSA entre autre) et en informatique plus généralement

    Sinon ça sert aussi à aborder les cours d'analyse et de géométrie de manière plus rigoureuse et formelle

    D'autres matheux plus avancés que moi apporteront sans doute des réponses un peu plus valables que la mienne.

  4. #3
    GuYem

    Re : Utilité des structures algébriques

    Eh bien c'est simple, les groupes, anneaux, corps, algèbres, espaces vectoriels, il y en a partout quand tu fais des maths.

    Après si tu te demandes à quoi ça sert dans la vraie vie, je suis pas là pour répondre !
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Utilité des structures algébriques

    Et c'est aussi très joli comme concepts, mais ça n'est pas très objectif (il faut aimer quoi ...)

  6. #5
    evariste_galois

    Re : Utilité des structures algébriques

    Citation Envoyé par cedbont
    Je ne suis pas fondamentalement contre l'algèbre, mais j'ai l'esprit un peu terre à terre et je ne vois pas très bien à quoi peuvent servir certaines notions commes les anneaux, les corps ou les espaces vectoriels de dimensions supérieures à 4.
    A faire des thèses?

    Pouvez-vous m'éclairer sur leur utilité? On les enseigne, ça doit bien être pour quelque chose...
    Salut,

    Les structures algébriques ont d'importantes applications dans certaines branches scientifiques (informatique, chimie, physique quantique, etc.). Surtout, on les retrouve partout en maths.

    Je suis certain qu'avec le temps, si tu as l'occasion d'en voir d'avantage, tu comprendras par toi-même l'utilité de l'algèbre moderne.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    homotopie

    Re : Utilité des structures algébriques

    Salut cedbont (et aux autres),
    avec quoi as-tu envoyé ton message? Une machine pleine de composées électroniques.
    Sur quelle théorie est basée la conception de ceux-ci ? Sur l'électromagnétisme et celle-ci sur la mécanique quantique
    Cette dernière aurait bien du mal à être exprimé autrement qu'avec des ev, bien souvent de dimension infinie (donc nettement supérieur à 4)
    De manière générale tout problème complexe possède plusieurs paramètres. L'étude de ceux-ci trouve dans les espaces vectoriels un outil bien adapté.

    En fait, pour réssoudre des problèmes mathématiques, physiques, chimiques, informatiques... ces concepts ne sont pas nécessairement indispensables mais le développement de chacun a fait apparaître de telles structures qui non seulemenet ont montré leur efficacité mais en plus apporte une unification des concepts.

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  10. #7
    zinia

    Re : Utilité des structures algébriques

    Bonsoir,

    Oui ça sert à tout ce qui a été dit mais ma modeste expérience d'une trentaine d'années dans la "vraie vie" m'incite à croire que l'on rencontre au moins autant ces objets étranges dans l'organisation, la planification, l'optimisation, la gestion etc.. que dans la science ou la technique. Et dans ces domaines, un espace vectoriel à moins de quatre dimensions, ça n'existe que dans les exercices pour débutants.
    A cela se rajoute une dimension esthétique et unificatrice comme l'a souligné homotopie un peu fascinante : le même théorème va être utilisé dans la conception un programme de traduction automatique, dans l'élaboration d'une théorie de la gravitation quantique et pour optimiser un problème de logistique !

  11. #8
    fderwelt

    Re : Utilité des structures algébriques

    Bonjur,

    Mon grain de sel:

    Quand après des années 'exoérience pratique tu t'aperçois que c'est toujors plus ou moins (à des variantes mineures près) le même poblème que tu as a résoudre, tu es ciontent:
    1) de pouvoir traiter les variantes par une mtéhode unique, économie d'efforts;
    2) de povoir réutiliser en économie la soluce que tu as trouvée en guidage de missiles, économie de créativité.

    Donc, mis à part l'aspect "moindre effort", ça te donne une compréhension plus abstraite et donc moins dépendante des circonstances particulières. Et avec un peu de chance ça t'ouvre les yeux sur une nature commune cachée...

    Voir la Théorie des Catégories. Impinable au départ, mais d'une fécondité lapinesque à l'arrivée.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  12. #9
    doryphore

    Smile Re : Utilité des structures algébriques

    Le rôle des structures algébriques n'est pas immédiat, mais au final, cela permet de ne pas répéter 100 fois la même chose quand on exprime des "vérités" mathématiques.
    Obtenir des résultats sur des structures mathématiques abstraites permet d'obtenir des résultats sur tous les ensembles mathématiques rencontrés (en mathématiques appliquées, en physique, en informatique) que l'on peut munir de telle structure, d'où une économie en temps de plusieurs siècles dans la recherche mathématique.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #10
    rvz

    Re : Utilité des structures algébriques

    Salut,

    Allez, moi aussi, j'en rajoute une couche
    Au passage, c'est marrant de voir des petits jeunes qui disent que ça sert à rien, que c'est juste une belle théorie. Comme quoi, la science est tellement implantée dans notre quotidien qu'on ne la voit même plus ! Dans ce contexte, on comprend bien vite pourquoi les chercheurs sont sous payés...

    Par exemple, je dis ce sur quoi je travaille en ce moment. Je travaille en analyse numérique, ce qui devrait être un peu lointain de ces considérations pour certains, mais bien au contraire. Un ordinateur ne sait traiter que des matrices ! Ainsi, quand un ingénieur calcule un pont, la Tour Eiffel, un barrage électrique, s'il veut s'assurer de la stabilité de ses édifices, il a besoin de calculer les valeurs propres de certaines grosses matrices (10^7 en ce moment environ, je crois qu'on sait pas faire mieux numériquement à l'heure actuelle, mais ça augmente régulièrement). Et plus la matrice est grosse, mieux ça décrit le système (en tout cas c'est l'idée, dans la pratique, on s'aperçoit bien vite que ce n'est pas toujours le cas, et c'est ça qui me donne du boulot ).
    De même, quand un ingénieur dessine une voiture et tente d'optimiser la forme pour que ce soit résistant aux chocs, estimer un profil d'avion à moindre cout, construire un sous marin, ou même un simple bateau, ...
    Et je ne parle même pas des physiciens théoriciens qui prétendent qu'on vit dans un espace à 11 dimensions (théorie des cordes) ou peut-être même douze (supercordes), ni des biologistes qui utilisent IRM, scanner, ni de ton appareil photo numérique,...
    Tout ça pour dire que les maths, ça sert beaucoup, dans beaucoup de sciences, qui elles même sont utiles à l'amélioration du quotidien de chacun. En gros, je suis outré qu'aujourd'hui, de plus en plus de personnes pensent que la recherche est inutile, en particulier le gouvernement. Je ne veux pas faire de politique, parce que ce n'est pas le lieu ici, mais je vous encourage à aller faire un tour sur les sites webs des groupes sauvons la recherche et équivalent.

    __
    rvz, qui envisage de plus en plus sérieusement de s'expatrier dans un pays où la recherche est mieux considérée, que ce soit US, Espagne, Canada, Allemagne, ....

  14. #11
    mtheory

    Re : Utilité des structures algébriques

    Citation Envoyé par cedbont
    Je ne suis pas fondamentalement contre l'algèbre, mais j'ai l'esprit un peu terre à terre et je ne vois pas très bien à quoi peuvent servir certaines notions commes les anneaux, les corps ou les espaces vectoriels de dimensions supérieures à 4.
    A faire des thèses?

    Pouvez-vous m'éclairer sur leur utilité? On les enseigne, ça doit bien être pour quelque chose...

    Je vois tout à fait ce que tu veux dire,effectivement la façon dont c'est présenté est assez .
    C'est comme si tu enseignais la théorie de la gravitation ou la mécanique au lycée directement avec les équations d'Einstein ou les postulats de la mécanique quantique sous prétexte qu'ils sont plus fondamentaux et généraux.
    C'est une habitude assez détestable et qui remonte à un certains bourbakisme assez mal digéré et compris.

    En fait derriere tout ça il y a énormément d'étapes dans l'évolution des mathématiques qui ont révelées la puissance de cette approche.

    Je te conseille de lire 'Pour l'Honneur de l'esprit humain' de Jean Dieudonné et si tu pouvais le trouver dans une bibli de maths (très dur) "The skeleton key of mathematics" de Littlewood..

    J'en dirais plus d'ici qq temps
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  15. #12
    mtheory

    Re : Utilité des structures algébriques

    Tu as déjà remarqué qu'il y a des tas de problèmes concrets qu'on peut algébriser en les ramenant à des système d'équations linéaire ou a des polynomes.
    En géométrie,en économie,en chimie etc...
    Graduellement les gens ont cherché une sorte de procédure d'algébrisation générale qui puisse ramener tout les problèmes mathématiques imaginables à des problèmes d'algébres.

    En fait si tu considéres un ensemble d'élements possédant des relations entre eux et si tu associes des nombres à ces éléments les relations entre ces éléments se ramène souvent à des relations et des calculs d'arithmétiques et d'algèbre avec ces nombres.

    C'est la grande astuce,trouver a quelles conditions mon problème mathématique sur des figure géométriques,des équations différentielle,des probabilités,des intégrales etc...peut se traduire en des problème de factorisation d'entiers,de résolutions d'équations du second degré etc..la notion de morphisme fait alors son apparition.

    Du coup des tas de notions très simples sur la divisibilité,la factorisation des nombres ou les conditions d'existences et les classes de solutions d'équations algébriques doivent être misent sous des formes abstraites anneaux,corps,idéaux etc...pour que les démonstrations et les calculs marchent quelque soit les éléments de l'ensemble de départs,points géométrique,polynomes,analyse fonctionnelle etc...

    Si tu veux que le dictionnaire fonctionne il faut bien établir des théorèmes qui marchent pour des éléments a,b,c arbitraires,seule la structure compte et c'est une structure qui se concrétise/traduit en fait par de l'arithmétique.

    Cela permet de rendre simple des problèmes apparements très compliqués et sans solutions évidentes.
    De plus les démonstrations mathématiques se ramènent,déguisées, en des démonstrations d'arithmétiques rigoureuses et plus facilements controlables.


    Evidemment,en générale on te le dit pas et tu comprends pas ces machins abstraits où il faut s'assurer qu'on a de l'associativité,des inverses,des éléments neutres,des automorphismes et autres trucs bizarres et apparement complétement tordus.

    En fait c'est de l'algèbre universelle !

    Bon,ce sont quelques éléments de réflexions,il y aurait beaucoup à dire,l'arithmétisation de l'analyse au 19 ième siecle,les travaux de Dedekind,Boole,Whitehead et Russell sans parler de la topologie générale qui participe de la même stratégie.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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  17. #13
    evariste_galois

    Re : Utilité des structures algébriques

    Citation Envoyé par cedbont
    Je ne suis pas fondamentalement contre l'algèbre, mais j'ai l'esprit un peu terre à terre et je ne vois pas très bien à quoi peuvent servir certaines notions commes les anneaux, les corps ou les espaces vectoriels de dimensions supérieures à 4.
    A faire des thèses?

    Pouvez-vous m'éclairer sur leur utilité? On les enseigne, ça doit bien être pour quelque chose...

    Salut,

    Je te conseille de lire "Algebre linéaire" de Ian Stewart. Tu y trouveras plein d'exemples d'application de l'algèbre linéaire à des problèmes concrets. En plus, il est d'une lecture aisée dès la fin du lycée.

    Bonne lecture.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  18. #14
    evariste_galois

    Re : Utilité des structures algébriques

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Je te conseille de lire "Algebre linéaire" de Ian Stewart
    Je me suis trompé d'auteur . Il s'agit en fait de Davic C.Lay .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  19. #15
    cedbont

    Re : Utilité des structures algébriques

    Merci alors que je me morfond à me regarder dans un miroir pour comprendre les réflexions , je vois la porte s'ouvrir : tout ça servira plus tard!
    Me voilà rassuré, je ne perds pas mon temps, j'apprends à compter!

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