Algébriques et équations

[invité576543]

Bonjour,

En lisant des messages sur les nombres et l'infini, il m'est venu la question suivante.

Je note .

L'ensemble des algébriques est présenté comme l'ensemble des solutions réelles des équations P(x)=0, P étant un polynôme de degré fini à coefficients dans ( suffit, mais je préfère mettre ).

est alors l'ensemble des solutions des équations P(x)=0

Mais est-il aussi l'ensemble des solutions des équations P(x) avec P polynôme de degré fini à coefficients dans lui-même?

Si la réponse est non, quel est le plus petit ensemble contenant et tel qu'il contient toutes les solutions des équations polynômiales à coefficients dans lui-même? (c'est ou un sous-ensemble, puisque possède la propriété)

Cordialement,
-----

[invite636fa06b]

Bonjour,

Intéressant mais pourquoi ne poses-tu pas la question sur A d'abord ?

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Je réponds un peu en mettant des modifications dans ton message :

Bonjour,
L'ensemble des algébriques est présenté comme l'ensemble des solutions COMPLEXES des équations P(x)=0, P étant un polynôme de degré fini à coefficients dans ( suffit, mais je préfère mettre ).

est alors l'ensemble des solutions des équations P(x)=0

POURQUOI ?

Mais est-il aussi l'ensemble des solutions des équations P(x) avec P polynôme de degré fini à coefficients dans lui-même?

Si la réponse est non, quel est le plus petit ensemble contenant et tel qu'il contient toutes les solutions des équations polynômiales à coefficients dans lui-même? (c'est ou un sous-ensemble, puisque possède la propriété)

Là, je ne te suis plus du tout. Qu'est ce que tu veux dire au juste ?

_
rvz

[invité576543]

Bonjour,

Intéressant mais pourquoi ne poses-tu pas la question sur A d'abord ?

En se limitant aux solutions réelles? Ca paraît moins intéressant que la notion de fermeture complète.

Cdlt,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Je réponds un peu en mettant des modifications dans ton message :

Bonjour,

J'avais toujours vu les algébriques comme un sous-ensemble des réels, pas des complexes

Là, je ne te suis plus du tout. Qu'est ce que tu veux dire au juste ?

Je me demande quel est le plus petit ensemble S qui contient Q et toutes les solutions des équations P(x)=0 avec P quelconque de degré fini à coefficients dans S. S contient A+iA (je garde ma notation, elle n'est pas ambigue) et est inclut dans C, puisque C est fermé pour les équations polynomiales.

Je me répète, mais je ne sais pas comment faire plus clair.

Cordialement,

[martini_bird]

Salut,

je vais juste essayer de reformuler la question.

L'ensemble des nombres algébriques est la clôture algébrique de .

Ton ensemble est donc , la fermeture algébrique de dans . On a bien .

Je comprends ta question comme : la fermeture algébrique de dans vérifie-t-elle ?

Je pense que oui, mais je n'ai pas d'idée pour l'instant.

Cordialement.

[invité576543]

Salut,

Je comprends ta question comme : la fermeture algébrique de dans vérifie-t-elle ?

Je pense que oui, mais je n'ai pas d'idée pour l'instant.

Tu clarifies le problème. J'ai fichu de la confusion avec A.

Ma question est encore plus simple, c'est si ?

ou, encore, si je comprend bien le vocabulaire, quel est la cloture algébrique de Q?

Cordialement,

[invité576543]

Dans l'article du Wiki on trouve

Dans le cas des nombres rationnels, la clôture algébrique s'obtient soit par l'ensemble des nombres algèbriques des nombres complexes (on vérifie aisément que cet ensemble forme un corps) soit comme union dénombrable d'une suite croissante d'extensions.

Ca semble répondre à la question, même si c'est bizaremment dit. Mais il n'y a aucune référence ou explication.

Cdlt,

[GuYem]

Salut,



Tu clarifies le problème. J'ai fichu de la confusion avec A.

Ma question est encore plus simple, c'est si ?

ou, encore, si je comprend bien le vocabulaire, quel est la cloture algébrique de Q?

Cordialement,

J'avoue ne pas comprendre la question posé de cette façon : Q_barre est la cloture algébrique de Q, donc il est algébriquement clos, donc sa cloture algébrique est lui-même.

[invité576543]

J'avoue ne pas comprendre la question posé de cette façon : Q_barre est la cloture algébrique de Q, donc il est algébriquement clos, donc sa cloture algébrique est lui-même.

On se perd dans le vocabulaire, c'était pas vraiment le but. Martini B a défini la barre comme la fermeture algébrique et suite à ma lecture du lien vers le Wiki, j'ai cru comprendre que ce n'était pas la même chose que la clôture...

Alors restons avec la formulation de Martini...

Cordialement,

[martini_bird]

Martini B a défini la barre comme la fermeture algébrique et suite à ma lecture du lien vers le Wiki, j'ai cru comprendre que ce n'était pas la même chose que la clôture...

Argh j'ai craqué : la barre désigne la clôture.

Veuillez changer

la fermeture algébrique de dans vérifie-t-elle ?

en

la fermeture algébrique de dans vérifie-t-elle ?

Pour ce qui est de la clôture algébrique d'un corps K, c'est le plus petit corps qui contient K et toutes les racines des polynômes de K[X]. Donc la "barre" est involutive.

Cordialement.

[invite636fa06b]

Bonjour,

Donc la "barre" est involutive.

Encore du pinaillage de vocabulaire. Pour moi, involutif, ça voudrait dire que

[martini_bird]

Bonjour,

Encore du pinaillage de vocabulaire. Pour moi, involutif, ça voudrait dire que

Salut,

ah oui tout à fait : comprendre (idempotent ?).

Cordialement.