Matrices , démonstration ..

[invite06020107]

bonjour , mon prof de maths m'a filé deux démos à faire et j'avoue que le ptit bonus sur la prochaine note qui fait partie de l'affaire m'interesse , je sollicite votre aide:

Le chapitre c'est " equation linéaires " et je dois démontrer que deux systemes L équivalents ont les mêmes solutions .. ( j'ai annoté S1 dans S2 et S2 élément de S1 mais je crois que ça ne sert à rien ) .

Et le 2eme : montrer que l'inverse des opérations élémentaires est une opération élémentaire .
Cela vous parle t-il ou faut il que je sorte le cours en entier ?
Merci meme si je craint ne pas avoir fourni assez d'indices.
A+
Sylvain
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[invitedf667161]

Personnellement, ça ne me parle pas beaucoup ...

Pour la première ; qu'est-ce-que deux systèmes linéaires équivalents ?

Pour la deuxième, je pense qu'on peut voir ça en terme de dilatations-transvections.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

D'accord avec Guyem sur la deuxième. Pour la première, j'aurais dit que deux systèmes linéaires sont équivalents ssi leurs matrices sont équivalentes, mais vu le résultat demandé, ça ne doit pas être ça. Du coup, ça mérité effectivement une définition.

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rvz, qui a peut-être enfin trouvé un appart

[shokin]

Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble-solution, par définition, non ? (tout comme deux équations dites équivalentes)

Aurais-tu un exemple ?

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06020107]

Ok concentrons nous sur la deuxième question: le cours donne ça :

A et B sont 2 matrices ( n x m ) , on dit qu'elles sont L équivalentes si on obtient B d'un nombre fini d'opérations élémentaires de A.

Si A et B sont L équivalentes, alors les systemes AX=Y et BX=Y ont les mêmes solutions.

A++> A1++> A2+++...++> Ak = B
Par récurence, il suffit de montrer que Aj et Aj+1 ont les memes solutions.
AjX=Y et Aj+1x+y sont des solutions de Aj+1=Y .

Montrer alors que l'inverse des opérations élémentaires sont des opérations élémentaires !?

voila moi je capte pas trop ce qu'il faut faire si vous pourriez m'aider ..
j'espere avoir été cette fois plus précis.
Merci
@+
Sylvain

[shokin]

Imagine que tu as une matrice A.

Tu lui effectues une opération élémentaire.

Tu obtiens alors une matrice autre B.

Peux-tu effectuer une opération élémentaire pour passer de B à A ?

Et si de B, tu fais une opération élémentaire, qui aboutit à une matrice C...

Les opérations élémentaires ont des réciproques.

Shokin

[invite06020107]

Et concrètement il existe une démonstration mathématique de la chose ou pas ?
merci de ton/votre aide en tout cas
@+
Sylvain

[inviteeecca5b6]

Salut,

Si A equivalent a B, alors A = I_EB

Avec I_E est une matrice nxn obtenue en faisant exactement la suite d'operations simples pour passer de A a B sur la matrice identite de dimension nxn I_N.

[invitedf667161]

Et concrètement il existe une démonstration mathématique de la chose ou pas ?
merci de ton/votre aide en tout cas
@+
Sylvain

Oui, c'est ce que je disais en premier message.

Une opération élémentaire, c'est une suite de multiplication (à gauche ou à droite) par des matrices de dilatation ou de transvection :

-Dilatations pour multiplier une ligne/colonne par un scalaire
-Transvections pour ajouter une ligne/colonne à une autre ligne/colonne.

Du coup, pour faire le travail à l'envers, il suffit de multiplier par les inverses de ces matrices.
Il te suffit donc de montrer que ces inverses sont elles aussi des matrices de dilatations/transvections pour montrer que ce que tu as fait dans un sens est défaisable dans l'autre sens par des opérations élémentaires.

En espérant répondre à ta question.

[invite06020107]

Eh bien merci de vos réponses je pense que vous avez répondu ( du moins j'espère ) !
je fais appel à vous si j'ai d'autres problèmes via ce Sujet!
Bonne Journée
Sylvain