[PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

[invite7d436771]

Bonjour !

Je rencontree un petit problème pour un exercice de DM qui porte plutôt sur les matrices.
On m'a défini un endomorphisme de noté par sa matrice M; et un sous espace vectoriel E=ker((-Id)²).
Je dois montrer que =E "plus cerclé" ker( +3Id).

Pour l'instant mes raisonnements ne sont pas très fructueux.. J'ai d'abord pensé à une analyse-synhtèse mais celle ci ne me parait pas très adaptée à ce genre de situation et je bute rapidement.. Ensuite j'ai pensé à montrer que l'intersection était nulle , en déduire que la somme était durecte et montrer que tout vectuer de pouvait s'écrire sous la forme d'une somme de vecteurs de E et ker(+3Id). Mais cela ne fait pas directement appel à la matrice dont je dispose.
Ma question est donc double : D'une manière générale, comment faire pour montrer que deux espaces sont supplémentaires en utilisant des matrices et ensuite comment faire dans mon cas particulier ...

En vous remerciant d'avance,

Cordialement,

Nox
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[invitedef78796]

Salut à toi,

D'une manière générale pour montrer que deux espaces sont supplémentaires, la méthode que tu a évoquée est la plus courante : on commence par montrer que l'intersection est vide puis que tout élément de l'espace se décompose effectivement en somme de deux éléments, chacun étant dans le sous-espace correspondant.

Donne nous la matrice en question, à mon avis c'est sur le cas particulier qu'il faut regarder...

@+

[invite7d436771]

Rebonjour,

comme demandé, voilà la matrice en question :

0 1 0
5 -1 -3
1 0 0

c'est une matrice 3,3 désolé je ne sais pas faire de grandes parenthèses...
elle ne m'inspire pas grand chose, a part que des combinaisons de certains vecteurs de la base canonique dans laquelle est exprimée la matrice font partie du noyau mais ce sont des combinaisons compliquées et je risque d'avoir fait des erreurs ...

Merci de vous interesser à mon problème !

Cordialement,

Nox

[invite10065251]

Me souvenirs sont lointains mais si tu cherches les valeurs propres de la matrice (ce que je n'ai pas fait), ta question ressemble fort à la décomposition indiquée par le lemme des noyaux qui se trouve sûrement dans un cours de prépa...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite636fa06b]

Bonjour,
Il y a toujours la méthode bourrine qui consiste à expliciter ker (A) en résolvant le système AX=0 avec A=(M-I)² puis A= M+3I
Tu as d'ailleurs un pb avec les valeurs que tu nous as données :
Ker (M+3I) = 0 et E n'est pas R3 donc les deux noyaux ne sont pas supplémentaires

[invitedef78796]

Bon,

Je commence par te proposer une solution niveau spé (je ne sais pas si c'est cela que tu veux...) mais qui utilise effectivement des arguments de la théorie de la réduction :

Un calcul du polynôme caractéristique de ta matrice donne P(x)=(x-1)²(x+3).
Tu sais par le théorème de Cayley-Hamilton que P(A)=0 d'où Ker P(A)=R³.
Tu sais par le théorème des noyaux que comme (x-1)² et x-3 sont deux polynômes premiers entre eux, que Ker P(A) = Ker (A-Id)² (+) Ker (A+3Id) et tu n'as plus qu'à conclure.

Si tu n'as pas ces éléments de théorie de la réduction il faut y aller à la main :

Calcule C=(A-Id)² et D=A+3Id et résout les deux systèmes CX=0 et DX=0 ; tu devrais sans trop de problèmes (j'ai essayé et ça marche ) obtenir deux espaces sous la forme Vect( , ) ... et tu n'auras plus qu'à conclure.

[invitedef78796]

Bonjour,
Il y a toujours la méthode bourrine qui consiste à expliciter ker (A) en résolvant le système AX=0 avec A=(M-I)² puis A= M+3I
Tu as d'ailleurs un pb avec les valeurs que tu nous as données :
Ker (M+3I) = 0 et E n'est pas R3 donc les deux noyaux ne sont pas supplémentaires

Si si ça marche, enfin en tout cas même Maple est d'accord

Donc le résultat est vrai

[invite636fa06b]

Oui, une erreur s'est glissée dans mes calculs
ça marche bien

[invite7d436771]

Bonjour à tous !

En effet je ne suis qu'en sup donc je vais passer par la méthode CX=0 et DX=0. Fabdes désolé mais je suis a mille lieues de comprendre ce que tu dis ..
Donc une fois que j'ai mes deux noyaux sous la forme vect de qqch, je devrais pouvoir conclure directement si j'ia bien compris .. je vais essayer et je vous tiens au courant !

Merci beaucoup à vous !

Cordialement,

Nox