Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 9 sur 9

[PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires



  1. #1
    Nox

    [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires


    ------

    Bonjour !

    Je rencontree un petit problème pour un exercice de DM qui porte plutôt sur les matrices.
    On m'a défini un endomorphisme de noté par sa matrice M; et un sous espace vectoriel E=ker((-Id)²).
    Je dois montrer que =E "plus cerclé" ker( +3Id).

    Pour l'instant mes raisonnements ne sont pas très fructueux.. J'ai d'abord pensé à une analyse-synhtèse mais celle ci ne me parait pas très adaptée à ce genre de situation et je bute rapidement.. Ensuite j'ai pensé à montrer que l'intersection était nulle , en déduire que la somme était durecte et montrer que tout vectuer de pouvait s'écrire sous la forme d'une somme de vecteurs de E et ker(+3Id). Mais cela ne fait pas directement appel à la matrice dont je dispose.
    Ma question est donc double : D'une manière générale, comment faire pour montrer que deux espaces sont supplémentaires en utilisant des matrices et ensuite comment faire dans mon cas particulier ...

    En vous remerciant d'avance,

    Cordialement,

    Nox

    -----
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    IceDL

    Re : [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

    Salut à toi,

    D'une manière générale pour montrer que deux espaces sont supplémentaires, la méthode que tu a évoquée est la plus courante : on commence par montrer que l'intersection est vide puis que tout élément de l'espace se décompose effectivement en somme de deux éléments, chacun étant dans le sous-espace correspondant.

    Donne nous la matrice en question, à mon avis c'est sur le cas particulier qu'il faut regarder...

    @+

  5. #3
    Nox

    Re : [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

    Rebonjour,

    comme demandé, voilà la matrice en question :

    0 1 0
    5 -1 -3
    1 0 0

    c'est une matrice 3,3 désolé je ne sais pas faire de grandes parenthèses...
    elle ne m'inspire pas grand chose, a part que des combinaisons de certains vecteurs de la base canonique dans laquelle est exprimée la matrice font partie du noyau mais ce sont des combinaisons compliquées et je risque d'avoir fait des erreurs ...

    Merci de vous interesser à mon problème !

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  6. #4
    fabdes

    Re : [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

    Me souvenirs sont lointains mais si tu cherches les valeurs propres de la matrice (ce que je n'ai pas fait), ta question ressemble fort à la décomposition indiquée par le lemme des noyaux qui se trouve sûrement dans un cours de prépa...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    zinia

    Re : [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

    Bonjour,
    Il y a toujours la méthode bourrine qui consiste à expliciter ker (A) en résolvant le système AX=0 avec A=(M-I)² puis A= M+3I
    Tu as d'ailleurs un pb avec les valeurs que tu nous as données :
    Ker (M+3I) = 0 et E n'est pas R3 donc les deux noyaux ne sont pas supplémentaires

  9. #6
    IceDL

    Re : [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

    Bon,

    Je commence par te proposer une solution niveau spé (je ne sais pas si c'est cela que tu veux...) mais qui utilise effectivement des arguments de la théorie de la réduction :

    Un calcul du polynôme caractéristique de ta matrice donne P(x)=(x-1)2(x+3).
    Tu sais par le théorème de Cayley-Hamilton que P(A)=0 d'où Ker P(A)=R3.
    Tu sais par le théorème des noyaux que comme (x-1)2 et x-3 sont deux polynômes premiers entre eux, que Ker P(A) = Ker (A-Id)2 (+) Ker (A+3Id) et tu n'as plus qu'à conclure.

    Si tu n'as pas ces éléments de théorie de la réduction il faut y aller à la main :

    Calcule C=(A-Id)2 et D=A+3Id et résout les deux systèmes CX=0 et DX=0 ; tu devrais sans trop de problèmes (j'ai essayé et ça marche ) obtenir deux espaces sous la forme Vect( , ) ... et tu n'auras plus qu'à conclure.

  10. Publicité
  11. #7
    IceDL

    Re : [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

    Citation Envoyé par zinia
    Bonjour,
    Il y a toujours la méthode bourrine qui consiste à expliciter ker (A) en résolvant le système AX=0 avec A=(M-I)² puis A= M+3I
    Tu as d'ailleurs un pb avec les valeurs que tu nous as données :
    Ker (M+3I) = 0 et E n'est pas R3 donc les deux noyaux ne sont pas supplémentaires
    Si si ça marche, enfin en tout cas même Maple est d'accord

    Donc le résultat est vrai

  12. #8
    zinia

    Re : [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

    Oui, une erreur s'est glissée dans mes calculs
    ça marche bien

  13. #9
    Nox

    Re : [PCSI Matrices] Démonstration de supplémentaires

    Bonjour à tous !

    En effet je ne suis qu'en sup donc je vais passer par la méthode CX=0 et DX=0. Fabdes désolé mais je suis a mille lieues de comprendre ce que tu dis ..
    Donc une fois que j'ai mes deux noyaux sous la forme vect de qqch, je devrais pouvoir conclure directement si j'ia bien compris .. je vais essayer et je vous tiens au courant !

    Merci beaucoup à vous !

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

Discussions similaires

  1. espaces supplementaires
    Par chentouf dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 22/03/2007, 17h10
  2. Matrices , démonstration ..
    Par Boson_2_higgs dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 21/09/2006, 14h47
  3. [PCSI] exo matrices et R espace vectoriel
    Par Nox dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 03/06/2006, 23h06
  4. Supplémentaires, dimension...
    Par invite43219988 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 25/02/2006, 14h26
  5. pcsi -> problème sur les matrices, isomorphisme et tout le tsouin tsouin
    Par B3nJ4m1n dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 16/10/2005, 13h34