Supplémentaires, dimension...

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !

Alors j'ai un exo dont voici l'énoncé :

Soit E et F des K-ev de dimension finie et G un sev de E.
On pose A={u appartient L(E,F)/G inclu dans keru}

L(E,F) étant l'ensemble des applications linéaires de E dans F.

a) Montrer que A est un sev de L(E,F)
Ca c'est fait.

b)Déterminer la dimension de A
Bon j'ai la correction mais je voudrais être sur d'avoir bien compris !

Soit H un supplémentaire de G dans E. L'application
phy : u -> u|H (u restreint à H) définit un isomorphisme entre A et L(H,F).

Deux ev sont isomorphes s'ils ont même dimension.
Je ne vois pas bien ce que ça veut dire : "L'application
phy : u -> u|H (u restreint à H) définit un isomorphisme entre A et L(H,F)." même si je saisis bien que la finalité est de montrer que A et L(H,F) ont même dimension.

On me dit : la connaissance d'une application linéaire sur deux supplémentaires la caractérise entièrement, ici u|G=0 et donc u|H détermine u.

En gros, si on connait la dimension du noyau d'une application, il est possible de réduire son ensemble de départ ?

Pour info, la réponse est :
dimA=(dimE-dimG)*dimF

Ce qui me chagrine, c'est qu'il est dit que G est inclu dans Ker(u), pourquoi ne pas imaginer qu'il existe un sev P de G, différent de G et en déduire encore une fois que : dimA=(dimE-dimP)*dimF (la dimension de P étant strictement inférieur à celle de G)

Merci à tous.
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[invitebb921944]

Re-bonjour.
Petite question subsidiraire :
Peut-on avancer que :

E=H+F (en somme directe) si et seulement si :

dimE=dimH+dimF et (H inter F) = {0} ?

Merci d'avance.

[invitebb921944]

Je continue dans ma lancée et rerebonjour !

Si j'écris les choses suivantes, est-ce que c'est correct ?

E K-ev de dim finie, f,g appartiennent à L(E)

dim(E)=dim(kerf+Imf)
=dim(kerf)+dim(Imf)-dim(kerf inter Imf)
=dim(Kerf)+dim(Imf)

On peut conclure que du moment qu'on a
dim(H+G) avec H et G en somme directe, alors
dim(H+G)=dimH+dimG ?
dim({0})=0 ? (car 0 n'est pas un vecteur ?)

Merci encore.

[invitefe509ad8]

Salut !

Les éléments de A ont un point commun : il s'annulent sur G. Donc, comme c'est le cas pour tous les points communs, ils ne sont d'aucune utilité pour caractériser les individus. Si on te donne v € L(H,F), est tu capable de trouver l'application de A dont elle est la restriction ? Réciproquement, si u et u' de A diffèrent, elles le font sensément sur l'espace H.
Pour l'aspect morphique, ça va je pense

En ce qui concerne ta dernière remarque sur la substitution par P dans la formule, tu remarqueras qu'en toute rigueur, on aurait pu écrire A(G), A(P)...
la subsitution te donne un résultat différent parce que c'est G qui définit A...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Merci bien !
J'espère avoir des réponses pour la suite

[invitefe509ad8]

Pour le reste, ce n'est pas du cour ?