Opérateur différentiel - Hermiticité

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

une petite question. Disons que j'ai un opérateur T qui soit une dérivée : T=d/dx.

Je souhaite montrer que T est hermitien (auto-adjoint).

Pour qu'il le soit, il faudrait (par exemple) que

- (Tu,v) = (u,Tv) pour tout u, v éléments de D(T).

Question: on fait quoi si on écrit cette équation alors qu'a a pas encore définit le produit scalaire?

Il y a un argument plus simple pour dire que d/dx ou d^2/dx^2, ou x etc... sont des opérateurs hermitiens? (J'aurais envie d'écrire , mais pour l'opérateur impulsion, on a )


Je pense que je suis fatiguée... Faudrais que je dorme

Simon
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[invitea29d1598]

salut,

je pense pas dire de sottise en prétendant [comme je vais le faire dans un instant ] qu'un opérateur hermitien est par définition un truc qui agit sur un espace de Hilbert (ou au moins préhilbertien ?), lequel machin est nécessairement muni d'un produit scalaire...

je déplace quand même en math où tu auras têt plus de commentaires intéressants...

[edit] en plus ce que tu écris en précisant "(par exemple)", il me semble quand même que c'est la définition de base d'un opérateur hermitien... donc...

[invite8ef93ceb]

Ouais. Mais j'ai dans l'idée que je pars d'un opérateur qui agit dans un espace quelconque. a priori, je sais qu'il est défini pour un domaine, mais lequel? peut-être c'est évident en regardant d/dx?

Pour la définition, je pense que ça peut varier, mais surement qu'elles sont toutes équivalentes. Voir Kato, chapitre 5 sous-chapitre 3 et 4. Mon "par exemple" laissait seulement sous-entendre qu'il y a peut-être d'autres façons de vérifier l'hermiticité d'un opérateur...

Cordialement,

Simon

[invitec314d025]

je pense pas dire de sottise en prétendant [comme je vais le faire dans un instant ] qu'un opérateur hermitien est par définition un truc qui agit sur un espace de Hilbert (ou au moins préhilbertien ?)

Oui préhilbertien doit suffire. La notion d'endomorphisme hermitien reste de toute façon attachée à celle préexistante d'un produit scalaire hermitien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

Voir Kato, chapitre 5 sous-chapitre 3 et 4.

résumé pour ceux qu'ont pas Kato sous la main ?

parce que la déf que je connais, sans ps, elle est hors-jeu... la tienne ne l'est pas ?

m'enfin, j'ose espérer, oui, que les défs sont équivalentes

Mon "par exemple" laissait seulement sous-entendre qu'il y a peut-être d'autres façons de vérifier l'hermiticité d'un opérateur...

certainement : s'il est composé de manière linéaire d'opérateurs qui le sont...

[invite8ef93ceb]

résumé pour ceux qu'ont pas Kato sous la main ?

Par exemple, je n'ai pas l'impression que Kato ait la définition traditionnelle d'un opérateur hermitien (auto-adjoint):

"An operator T in a Hilbert space H is said to be symmetric if T is densely defined and

(3.5).

T is sais to be selfadjoint if in addition

(3.6).

If D(T)=H, (3.5) implies (3.6). [...]

T is symmetric if and only if it is densely defined and
(Tu,v)=(u,Tv) for all u,v in D(T)."

Pour lui, la def. en terme du produit scalaire décrit un opérateur symétrique, qui n'est pas nécessairement (j'en conclu...) un opérateur auto-adjoint.

parce que la déf que je connais, sans ps, elle est hors-jeu... la tienne ne l'est pas ?

D'après toi, celle de Kato en a-t-elle besoin?

m'enfin, j'ose espérer, oui, que les défs sont équivalentes

Pour qu'elles soient équivalentes, il faut (d'après Kato) que tous les opérateurs symétriques considérés soient aussi auto-adjoint. Je ne sais pas quand c'est le cas.

Je reviens à mon questionnement, je précise un peu, pour préciser l'aide qu'on peut m'apporter.

Dans Reed&Simon 4, je regarde l'effet Stark d'un point de vue plutot mathématique. La section "spectral concentration" commence avec "Consider the following simple example: Let and let [...] In Section X.5 [dans un livre qui précède le 4] we proved that is essentially self-adjoint on .

Un opérateur "essentially self-adjoint" est un opérateur T dont la fermeture [closure] est auto-adjointe.

Ma question revient à demander la procédure qu'on du utiliser R&S dans un autre livre pour montrer que l'opérateur en question est essentiellement auto-adjoint.

Sinon, je me demande dans quelle mesure je peux utiliser le produit scalaire. J'ai besoin de vérifier si est une famille analytique au sens de Kato, et le critère pour vérifier que c'est le cas nécessite que soit un opérateur fermé. C'est l'essentielle qu'il me faut. Sinon, j'ai trouvé que tout opérateur symétrique est fermable [closable], et puisque qu'un auto-adjoint est symétrique, il est aussi fermable et je peux appliquer mon critère.

Mais peut-être que je me casse la tête. J'étudie l'effet Stark dans le cadre de la théorie des perturbations, et je commence mon problème avec l'énoncé de ce qui est connu sur l'atome d'hydrogène (hamiltonien, ses vecteurs propres, ses valeurs propres). Peut-être pourrais-je seulement inclure dans ce qui est connu que l'hamiltonien est auto-adjoint?

Mais j'aimerais beaucoup en voir la preuve....

Merci pour votre aide,

Simon

[invite8ef93ceb]

Pour qu'elles soient équivalentes, il faut (d'après Kato) que tous les opérateurs symétriques considérés soient aussi auto-adjoint. Je ne sais pas quand c'est le cas.

En fait, c'est écris dans le message, il faut que D(T)=H. Si, en MQ, on a toujours D(T)=H, alors on peut définir l'hermiticité par le critère du produit scalaire discuté ici.

[invite8ef93ceb]

Finalement, je crois que ce n'est pas du tout trivial. Voir http://www.ams.org/notices/200006/mem-kato.pdf

pour une revue historique du travail de Kato (qui est en lien avec ce que je cherche).

J'abandonne...

Simon

[invite8ef93ceb]

Pour plus de détail sur les opérateurs considérés dans mon questionnement, et sur le questionnement lui-même, voir

Avron & Herbst, Spectral and Scattering Theory of Schrödinger Operators Related to Stark Effect, Commun. math. Phys. 52, 239-254 (1977). Le lien est :

http://physics.technion.ac.il/~avron...1103900538.pdf

Simon