opérateur linéaire

[invite5105a11a]

Bonjour

Voici une question pour laquelle je pense avoir trouvé une réponse, mais je ne suis pas sûr qu'elle soit bonne:
"Donnez un exemple d'opérateur linéaire A de R^3 ayant comme noyau la droite d'équation y=z=0 et comme image le plan d'équation x=y"

Voilà comment j'ai procédé:

A:R^3 -> R^3 : (x,y,z) --> (ax+by+cz,dx+ey+fz,gx+hy+iz)
Le but est de trouver a,b,c,d,e,f,g,h et i.

KerA: ax+by+cz=0
dx+ey+fz=0
gx+hy+iz=0a
a comme solution: y=z=0
donc ax, dx et gx sont égales à 0
=> KerA=<(1,0,0)>

ImA=<(1,1,0),(0,0,1)>
c-à-d (x,y,z)-> alfa(1,1,0) + bèta(0,0,1)
-> (alfa,alfa,bèta)
==> ax+by+cz=dx+ey+fz (car ils sont tous les deux égaux à alfa), or ax et dx sont égaux à 0
==> by+cz=ey+fz

(On a aussi gx+hy+iz=bèta, or gx=0, donc hy+iz=bèta)

alfa n'est pas égal à bèta, donc:
b=e n'est pas égal à h
c=f n'est pas égal à i

Prenons (au choix) b=1=e et c=2=f
et h=-1 et i=3

Alors on aurait:
A:R^3 -> R^3x,y,z)->(y+2z,y+2z,3y-2z)

Est-ce que ce raisonnement et cette réponse sont bons???
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

La réponse est bonne. Pour faire un peu plus simple sur le raisonnement (qui a l'air bon toutefois) : Le noyau est la droite engendré par e1, donc tu sais d'avance que la première colonne de ta matrice est nulle. Ensuite, les 2 autres colonnes forment une matrice 3*2 A qui doit être de rang 2 (sinon tu vas rajouter une dimension au noyau).
Mais on t'impose en plus la condition que l'image est dans le plan x=y, ce qui signifie que les deux premières lignes de A sont identiques.
Enfin, la dernière ligne de A doit être "non colinéaire" à la première ligne, sinon A serait de rang au plus 1.
Bilan :
L'ensemble des matrices qui satisfont ce que tu veux est
de la forme
0 a b
0 a b
0 c d
avec ad -bc différent de zéro.

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rvz