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operateur linéaire



  1. #1
    champunitaire

    operateur linéaire


    ------

    salut

    j'ai un operateur lineaire L qui agit sur une fonction F et qui donne une autre fonction G. Maintenant sous certaines conditions (à l'infini) je peux approximer ma fonction F par une autre fonction P, ma question est est-ce que l'action de l'operateur L sur P donnera une fonction (disons H) qui sera une bonne approximation de G ? si oui, est-ce dans les mêmes conditions? et y a-t-il des conditions autres ?

    merci pour vos réponses

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    modulaire

    Re : operateur linéaire

    Le probléme que tu poses là est celui de la continuité de L. Il faut d'abord préciser ce que tu entends par bonne approximation, c'est à dire, la topologie dans laquelle tu travailles. Ensuite, il faut étudier les propriétés de ton opérateur par rapport à cette topologie.
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  4. #3
    rvz

    Re : operateur linéaire

    Salut,

    Tout à fait d'accord avec modulaire. Par exemple, si P est une bonne approximation de F pour la norme || .||_B, alors L(P) est proche de L(F) pour la norme ||.||_C dès que tu as la continuité de L de B dans C, i.e. ||L(G)||_C< K* ||G||_B, pour tout G dans B,
    où K est une constante indépendante de G.

    __
    rvz

    PS : En français, approximer est à proscrire : On doit dire approcher...

  5. #4
    champunitaire

    Re : operateur linéaire

    merci beaucoup les gars pour votre explication, mais si vous avez un surplus d'informations ou de précisions à ce petit problème bien spécifique sentez vous libres de m'en faire part. merci encore une fois.





    c'est gentil les matheux.

  6. #5
    matthias

    Re : operateur linéaire

    L'ennui c'est que ton problème n'est justement pas très spécifique. Difficile de donner plus d'infos si on ne connait pas l'espace sur lequel tu travailles.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    champunitaire

    Re : operateur linéaire

    resalut

    oui effectivement c'était un peu maigre comme données, je vais être un peu plus précis.voila en fait la fonction G est egale au carré scalaire d'une fonction psy , c'est à dire G=psy. x psy.* , justement cette fonction psy appartient a l'espace de hilbert et elle est de carré sommable. voilà pour G. maintenant l'operateur L en question est tout simplement le d'alembertien en dimension 3 (c'est a dire un nabla et une dérivée seconde par rapport au temps) et il agit comme je le disais plus haut sur la fonction F (fonction des variables x,y,z et t) qui pour être plus exhaustif a une singularité en 1/r (pour r=0 et r bien sûr peut s'exprimer grace a x,y,z). Pour finir la fonction P maintenant qui s'apparente à F quand r tend vers l'infini a aussi une singularité en 1/r (pour r=o) . Voilà donc les données du problème.


    merci pour votre aide.

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  10. #7
    modulaire

    Re : operateur linéaire

    Donc, si je comprends bien, tu travailles en norme L2.

    Il y a deux problémes: à l'origine et à l'infini (t'es vraiment gâté, là!).
    A l'infini, le mieux c'est d'utiliser la transformée de Fourier (c'est une isométrie de L2 sur lui même, ça tombe bien). Regarde la croissance de la TF de ta fonction F; si ça décroit assez vite, c'est bon, tu peux approximer par des fonctions à support compact.
    En l'origine, c'est plus délicat. Une singularité en 1/r n'est pas bien méchante, au moins pour ce qui est de la partie radiale. Ton Laplacien en sphériques va remultiplier par r la fonction. Donc tu peux voir si c'est 2 fois dérivable aprés cette opération. Pour l'autre facteur 1/r, devant , il est compensé par la mesure .
    Reste la partie angulaire, mais là, il faudrait avoir l'expression de F pour dire quelque chose.
    Voila, j'espére que cela t'aide un peu. Sinon, poste l'expression de F, il faut regarder plus précisemment.
    Dernière modification par modulaire ; 29/04/2006 à 21h15.
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  11. #8
    champunitaire

    Re : operateur linéaire

    salut


    je suis désolé de ne vous avoir pas encore donné les expressions exactes de F et de P , car je ne me suis pas loggué depuis quelques jours sur le site. Voici donc comme vous me l'avez demandé les expressions. En fait F n'est que le potentiel scalaire de Liénard-wiechert créé par une charge en mouvement tandis que la fonction P est le potentiel coulombien créé par une charge. Ainsi le problème à l'infini est soluble puisque ces potentiels scalaires tendent vers zero à l'infini.
    Dans l'expression du potentiel de Liénard-wiechert il y a un terme qui multiplie au dénominateur la variable r, ce terme depend du temps t généralement.
    Voilà donc pour les fonction F et P, de plus c'est lorsqu'on fait l'approxiamtion que la vitesse de la particule tend vers zero que P devient F.







    ici q et c sont de simples constantes.


    merci pour votre aide.


    ps:

    je vous prie de m'excuser pour les <br> qui apparaissent ici et là dans mon code latex,mais je ne maitrise pas encore comme il faut le latex.

  12. #9
    modulaire

    Re : operateur linéaire

    Bon, le Laplacien de 1/r est une distribution. C'est, à un facteur prés, Dirac à l'origine. Il y a plusieurs maniéres de calculer ce Laplacien au sens des distributions: utiliser la transformation de Fourier, approximer 1/r par une suite de fonctions piquées à l'origine, ou encore, utiliser la formule $\int fdg = \int gdf =0$, dans laquelle f est la fonction 1/r et g est une fonction test.

    Les 3 méthodes sont rigoureuses à condition de bien préciser à quelle classe de fonctions on compte appliquer la distribution. En général, on prend des fonctions lisses.

    Il y a, je crois, un calcul dans le Cohen-Tann, tome II, p 1470, qui pourrait t'intéresser, et s'adapter à ta question.

    Sinon, il y a certainement aussi quelque chose sur mathworld.

    (Si tu ne possédes pas ce livre, j'essaierai de te donner des infos plus précises.)

    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  13. #10
    champunitaire

    Re : operateur linéaire

    merci modulaire pour ton aide, je vais consulter le grand Cohen

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