salut
j'ai un operateur lineaire L qui agit sur une fonction F et qui donne une autre fonction G. Maintenant sous certaines conditions (à l'infini) je peux approximer ma fonction F par une autre fonction P, ma question est est-ce que l'action de l'operateur L sur P donnera une fonction (disons H) qui sera une bonne approximation de G ? si oui, est-ce dans les mêmes conditions? et y a-t-il des conditions autres ?
merci pour vos réponses
Le probléme que tu poses là est celui de la continuité de L. Il faut d'abord préciser ce que tu entends par bonne approximation, c'est à dire, la topologie dans laquelle tu travailles. Ensuite, il faut étudier les propriétés de ton opérateur par rapport à cette topologie.
Salut,
Tout à fait d'accord avec modulaire. Par exemple, si P est une bonne approximation de F pour la norme || .||_B, alors L(P) est proche de L(F) pour la norme ||.||_C dès que tu as la continuité de L de B dans C, i.e. ||L(G)||_C< K* ||G||_B, pour tout G dans B,
où K est une constante indépendante de G.
__
rvz
PS : En français, approximer est à proscrire : On doit dire approcher...
merci beaucoup les gars pour votre explication, mais si vous avez un surplus d'informations ou de précisions à ce petit problème bien spécifique sentez vous libres de m'en faire part. merci encore une fois.
c'est gentil les matheux.
L'ennui c'est que ton problème n'est justement pas très spécifique. Difficile de donner plus d'infos si on ne connait pas l'espace sur lequel tu travailles.
resalut
oui effectivement c'était un peu maigre comme données, je vais être un peu plus précis.voila en fait la fonction G est egale au carré scalaire d'une fonction psy , c'est à dire G=psy. x psy.* , justement cette fonction psy appartient a l'espace de hilbert et elle est de carré sommable. voilà pour G. maintenant l'operateur L en question est tout simplement le d'alembertien en dimension 3 (c'est a dire un nabla et une dérivée seconde par rapport au temps) et il agit comme je le disais plus haut sur la fonction F (fonction des variables x,y,z et t) qui pour être plus exhaustif a une singularité en 1/r (pour r=0 et r bien sûr peut s'exprimer grace a x,y,z). Pour finir la fonction P maintenant qui s'apparente à F quand r tend vers l'infini a aussi une singularité en 1/r (pour r=o) . Voilà donc les données du problème.
merci pour votre aide.
Donc, si je comprends bien, tu travailles en norme L2.
Il y a deux problémes: à l'origine et à l'infini (t'es vraiment gâté, là!).
A l'infini, le mieux c'est d'utiliser la transformée de Fourier (c'est une isométrie de L2 sur lui même, ça tombe bien). Regarde la croissance de la TF de ta fonction F; si ça décroit assez vite, c'est bon, tu peux approximer par des fonctions à support compact.
En l'origine, c'est plus délicat. Une singularité en 1/r n'est pas bien méchante, au moins pour ce qui est de la partie radiale. Ton Laplacien en sphériques va remultiplier par r la fonction. Donc tu peux voir si c'est 2 fois dérivable aprés cette opération. Pour l'autre facteur 1/r, devant, il est compensé par la mesure
Reste la partie angulaire, mais là, il faudrait avoir l'expression de F pour dire quelque chose.
Voila, j'espére que cela t'aide un peu. Sinon, poste l'expression de F, il faut regarder plus précisemment.
salut
je suis désolé de ne vous avoir pas encore donné les expressions exactes de F et de P , car je ne me suis pas loggué depuis quelques jours sur le site. Voici donc comme vous me l'avez demandé les expressions. En fait F n'est que le potentiel scalaire de Liénard-wiechert créé par une charge en mouvement tandis que la fonction P est le potentiel coulombien créé par une charge. Ainsi le problème à l'infini est soluble puisque ces potentiels scalaires tendent vers zero à l'infini.
Dans l'expression du potentiel de Liénard-wiechert il y a un terme qui multiplie au dénominateur la variable r, ce terme depend du temps t généralement.
Voilà donc pour les fonction F et P, de plus c'est lorsqu'on fait l'approxiamtion que la vitesse de la particule tend vers zero que P devient F.
ici q et c sont de simples constantes.
merci pour votre aide.
ps:
je vous prie de m'excuser pour les <br> qui apparaissent ici et là dans mon code latex,mais je ne maitrise pas encore comme il faut le latex.
Bon, le Laplacien de 1/r est une distribution. C'est, à un facteur prés, Dirac à l'origine. Il y a plusieurs maniéres de calculer ce Laplacien au sens des distributions: utiliser la transformation de Fourier, approximer 1/r par une suite de fonctions piquées à l'origine, ou encore, utiliser la formule $\int fdg = \int gdf =0$, dans laquelle f est la fonction 1/r et g est une fonction test.
Les 3 méthodes sont rigoureuses à condition de bien préciser à quelle classe de fonctions on compte appliquer la distribution. En général, on prend des fonctions lisses.
Il y a, je crois, un calcul dans le Cohen-Tann, tome II, p 1470, qui pourrait t'intéresser, et s'adapter à ta question.
Sinon, il y a certainement aussi quelque chose sur mathworld.
(Si tu ne possédes pas ce livre, j'essaierai de te donner des infos plus précises.)
merci modulaire pour ton aide, je vais consulter le grand Cohen
