Espace Dual

[invited89c0c70]

Bonjour a tous,

Je suis dans mes révisions, et suis tombé sur un exercice concernant la dualité, sur les bases et applications...

On note par une étoile " * " la dualité

Soit f : E --> F une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finies sur le corps k. On note que pour L apprtenant a E*, on a L = 0 ssi L(u) = 0 pour tout u appartenant a E. Par la dualité E =(E*)*, pour u appartenant a E, u = 0 ssi l(u)=0 pour tout L appartenant a E*

(a) Montrer que (f*)* = f

(b) Montrer que f et f* ont même rang.

(c) Montrer que ker(f*) = (Im(f)) orthogonal et que ker(f) = im(f*) orthogonal

Et donc j'ai relu mes cours et d'autres sur internet, mais je ne vois vraiment pas comment exploiter le dual d'une application, est ce que, déjà si f : E --> F alors f* : E* --> F* ? Mais même après je ne vois vraiment pas comment réussir a montrer cela...

Quelques conseils seraient les bienvenues ! Merci a tous
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[invite8b04eba7]

Salut !

Si tu as une application f de E vers F, son dual f* se définit par

Donc c'est une application de F* vers E*. Ensuite il faut faire attention : dire que f** = f, ça n'a pas de sens : ce n'est vrai que du moment que tu identifies E** à E. Tu verras alors que c'est facile (remarque que matriciellement, ça se traduit par , une fois que tu as choisi des bases de E,F et de leurs duals).

Maintenant que tu sais ça, je te laisse réflechir au reste.

[invitef4181796]

Bon, juste pour le départ: si f envoie E dans F, f* envoie F* dans E*: Si h est une forme linéaire sur F, par définition f*(h)= hof (o= composition), est une forme linéaire sur E.
Pour la suite, tu dois penser à l'isomorphisme de E et E*; d'aprés ce que comprends, tu dois voir cela en choisissant une base de E et le base duale de E* (pareil pour F et F*)

Edit: grillé par Doudache (Aaargh, c'est la deuxième fois aujourd'hui)

[invite6b1e2c2e]

(...)

Bonjour,

Tout d'abord, pour fixer les choses, je rappelle que l'espace dual de E, noté E*, ou E', c'est l'ensemble des applications linéaires de E dans R. (ou C, enfin dans k = corps de base de l'ev).
Soit donc f dans E*. Par définition, f est une application linéaire de E dans R.
Maintenant si je prends L: E -> F, avec E et F 2 R ev de dimension finie, et si je prends un g dans F*, comment puis je lui associer un élément de E* ?
En prenant f(x) = g(L(x)) pour tout x de E. En général, on note alors f = L* (g), puisque bien entendu cette correspondance définit une application linéaire entre F* et E*. Donc L*: F*-> E*.
Maintenant, que vaut K = (L*)* ? Bien sûr, K est une application linéaire de E** = E dans F** = F. De plus, pour tout x dans E=E**, Kx est un élément de (F*)* qui satisfait que pour tout f dans F*, Kx(f)=f(Lx), ce qui par l'identification canonique du bidual,, montre bien que Kx = Lx .

Je te laisse réfléchir plus longuement aux autres points.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited89c0c70]

Merci a tous, pour vos réponses, elles m'ont pas mal éclaircis

Par contre dans ta réponse rvz, a la fin, je ne vois pas trop comment on arrive au fait que pour tout x dans E=E**, Kx est un élément de (F*)* qui satisfait que pour tout f dans F*, Kx(f)=f(Lx) ?

[invite6b1e2c2e]

Ba, c'est la définition de L**, car L*f= f(L).

C'est vraiment le point clé d'ailleurs, alors réfléchis-y calmement, jusqu'à en être convaincu.

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rvz

[invited89c0c70]

oui c'est bon je m'en suis convaincu, enfin je pense mais pourquoi l'égalité Kx(f)=f(Lx), pitète que j'ai pas compris final'ment mais Kx aparttient de F** et Lx ?
il appartient a L** ?