Dual de dual ?

invite11f2a3ff · 21/08/2006, 12h17

Salut,

Je voudrais savoir un truc.
Si on prend un espace vectoriel E, alors E* est l'espace vectoriel des formes linéaires agissant sur les vecteurs de E. Mais ces formes linéaires sont elles-même vecteurs d'un espace vectoriel. Je peux donc imaginer un nouvel espace de forme linéaire agissant sur les formes linéaires de E* en leur associant un scalaire.
J'ai donc créé un E** et si je veux je peux continuer avec un E********* autant que je veux.

Est-ce que je me trompe ?
Si oui, pourquoi est-ce que je me trompe ?
Sinon est-ce que ça a un intérêt ce que je viens de raconter ??

Cordialement

Latouffe

invite6b1e2c2e · 21/08/2006, 12h26

Salut,

Non, tu ne te trompes pas. En fait, ce que tu appelles E** est communément appelé le bidual. Il a l'avantage certain d'être un "sur espace vectoriel canonique" de E.
En effet, tu peux considérer l'application j : E -> E** qui à x dans E associe x** dans E** défini par
x**(l) = l(x) pour tout l dans E*.

Evidemment, après on peut continuer indéfiniment. En pratique toutefois, il est très utile que les espaces vectoriels satisfassent la condition dite de réfléxivité E = E**. C'est notamment vrai pour tous les espaces vectoriels de dimension finie et pour tous les espaces de Lebesgue L^p, avec 1<p< infini.

Les cas où E est différent de E** sont très très embêtant. En général, c'est des espaces que l'on décrit comme pathologiques mais avec lesquels on évite de travailler.

__
rvz

invite6de5f0ac · 21/08/2006, 12h29

Envoyé par Latouffe

Est-ce que je me trompe ?
Si oui, pourquoi est-ce que je me trompe ?
Sinon est-ce que ça a un intérêt ce que je viens de raconter ??

Bonjour,

Tu ne te trompes pas. E** s'appelle le bidual de E, et (au moins en dimension finie) il est canoniquement isomorphe à E. Ce qui fait qu'on identifie en général E et E**, et qu'il n'y a plus d'intérêt à aller au-delà et à construire des E*...*.

Il y a eu récemment un fil là-dessus, je n'ai pas les références exactes mais c'est tout récent.

Cordialement,

-- françois

P.S. - Grillé par rvz!

invite10a6d253 · 21/08/2006, 12h32

Envoyé par rvz

Salut,

Les cas où E est différent de E** sont très très embêtant. En général, c'est des espaces que l'on décrit comme pathologiques mais avec lesquels on évite de travailler.

__
rvz

Juste un petit bémol si je puis me permettre : on travaille avec des espaces non réfléxifs comme $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , mais qui ont quand même de bonnes propriétés de dualité : ( $\text{[math]}$ est l'espace dual d'un espace séparable (bien utile pour faire de la topologie faible) et $\text{[math]}$ est un sous-espace du dual d'un espace séparable: les mesures de Radon= dual des fonctions continues à support compact.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6b1e2c2e · 21/08/2006, 12h44

Bien sûr, edpiste, je suis d'accord avec toi. Néanmoins, vu la question, je ne pensais pas qu'il était nécessaire de rentrer dans ce genre de détails techniques.

Tu avoueras quand même que c'est peu sympathique, surtout pour L^1, quand tu fais de la topologie faible.
Ca veut dire que quand tu travailles dans L^1, tu es obligé de faire 2 étapes quand tu passes à la limite :
1/ Montrer que f_n est bornée L^1
2/ Montrer que la limite faible au sens des mesures est en fait une fonction L^1.
Evidemment, le 1/ est toujours nécessaire, même dans L^2, mais le 2/ est loin d'être évident. Il y a bien sûr le lemme de concentration compacité de P. L. Lions (médaille Fields 94 !) qui te permet de traiter des choses comme ça, mais c'est quand même pas évident. (D'ailleurs, pour ceux qui sont intéressés, c'est très bien expliqué dans le livre d'Otared Kavian.)
Tu peux aussi dire qu'après tout, raisonner avec des mesures, c'est pas très grave, mais ça présente des problèmes majeurs dans les systèmes non linéaires (par exemple Navier Stokes

)
Je dis tout ça parce que j'ai récemment été confronté à ce genre de problème sur Navier Stokes compressibles et je n'ai pas réussi à terminer la preuve à cause d'un problème de ce type. Des heures d'énervement pour un truc qui n'aboutit pas ! Je voulais juste étendre un résultat au cas limite et le seul problème vient du fait qu'à un moment, j'ai une limite faible qui est une mesure, et du coup, :'(

Bon, je crois que maintenant, on a vraiment élargi le débat, mais peut-être un peu trop vu la question initiale.
Tant pis, ça fait des exemples d'applications concrètes de ces notions

__
rvz

invite10a6d253 · 21/08/2006, 13h01

Je continue de digresser et je ne sais pas si ça peut t'aider mais au cas où, voici un joli résultat récent : la mesure limite appartient à L^1 + H^-1 si et seulement si elle est diffuse (c'est-à-dire qu'elle ne charge pas les ensembles de capacité Newtonienne nulle)

invite6b1e2c2e · 21/08/2006, 13h06

Merci pour ce résultat. J'avoue que je ne le connaissais pas : Tu as une référence ?
Cela dit, j'ai plus le papier sous la main, mais il me semble que j'avais vraiment besoin d'avoir une fonction L^1. Je vérifierai.
Par ailleurs, il me semble que mon plus gros problème c'était justement de montrer qu'elle ne charge pas les points, les phénomènes de concentration en mécanique des fluides compressibles étant à priori possible

.

En te remerciant,
__
rvz

invite10a6d253 · 21/08/2006, 13h13

Voir Boccardo-Gallouët-Orsina, Annales de L'IHP NL, 13 (1996), 539-551.

inviteab2b41c6 · 21/08/2006, 13h20

Qu'est ce que la capacité newtonnienne?
Est ce que c'est la capacité que l'on étudie en théorie du potentielle? c'est à dire le sup de l'exponentielle de l'énergie?
Sinon qu'est ce donc?

invite6b1e2c2e · 21/08/2006, 13h25

Très intéressant. Merci beaucoup.

__
rvz

invite10a6d253 · 21/08/2006, 13h28

La capacité est une mesure (extérieure) plus fine que la mesure de Lebesgue usuelle.

Définition formelle : si $\text{[math]}$ est un compact de $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$

Pour se faire une idée : un ensemble dont la mesure de Haussdorff $\text{[math]}$ est nulle (en gros un ensemble de "dimension plus petite" que N-2) est de capacité nulle. Inversement, un ensemble de capacité nulle est de mesure de Haussdorff $\text{[math]}$ nulle.

invite10a6d253 · 21/08/2006, 13h34

rvz, voir aussi le th 3 de http://www.lmpt.univ-tours.fr/~ponce/187.pdf

inviteab2b41c6 · 21/08/2006, 13h43

Salut,
c'est intéressant, mais je n'ai pas du tout cette définition. J'imagine que cette définition doit correspondre à la mienne.
$\text{[math]}$
où le sup est pris sur les mesure de probabilité mu sur E, et où $\text{[math]}$
L'avantage de cette définition est que E n'est pas supposé compact, mais on a quelque infos supplémentaires si c'est le cas. E est en fait une surface de Riemann, et "d" une métrique sur E.

Aurais tu des informations sur ta théorie de la capacité et la mesure de Hausdorff? (que je ne connais pas)
Merci,
a+

invite10a6d253 · 21/08/2006, 13h56

J'ai donné la définition pour les compacts pour simplifier, mais elle s'étend à n'importe quel Borélien par la construction usuelle (pour un ouvert, on prend le sup des capacités sur tous les compacts inclus dans cet ouvert, pour un Borelien, on prend l'inf sur tous les ouverts contenant l'ensemble)

Il y a un chapitre dans Gilbarg et Trudinger, voir aussi le Evans et Gariepy (pour la définition de la mesure de Hausdorff notamment).

Je ne sais pas s'il y a un lien simple avec la définition que tu proposes.

invite6b1e2c2e · 21/08/2006, 14h01

Envoyé par edpiste

rvz, voir aussi le th 3 de http://www.lmpt.univ-tours.fr/~ponce/187.pdf

Moi j'aime bien les petits nouveaux qui se soucient de ma thèse

Encore merci,
__
rvz

invite11f2a3ff · 21/08/2006, 14h23

Ouaw, je ne pensais pas ouvrir un débat si large avec cette petite question. Personnellement je n'ai compris que le premier post. Le reste est sûrement très intéressant, mais je rentre cette année en spé donc j'en suis pas encore là.

J'ai quand même encore une question sur la première réponse.

Je voudrais juste être sûr de ce que ça veut dire : E=E**.

Ca veut juste dire que x** et x ont les mêmes coordonnées dans leurs bases respectives ?
Parce que ce qui me gène, c'est que E contient des vecteurs, alors que E* contient des formes linéaires (qui sont aussi des vecteurs, mais à priori pas de même nature que les vecteurs de E)

@+

inviteab2b41c6 · 21/08/2006, 14h38

Envoyé par Latouffe

Ouaw, je ne pensais pas ouvrir un débat si large avec cette petite question. Personnellement je n'ai compris que le premier post. Le reste est sûrement très intéressant, mais je rentre cette année en spé donc j'en suis pas encore là.

C'est l'avantage de ce forum. Des gens très intéressants qui débattent de choses passionantes et souvent, sans trop se prendre le chou (ce qui n'est pas le cas de tous les fora...).

Je voudrais juste être sûr de ce que ça veut dire : E=E**.

Ca veut juste dire que x** et x ont les mêmes coordonnées dans leurs bases respectives ?
Parce que ce qui me gène, c'est que E contient des vecteurs, alors que E* contient des formes linéaires (qui sont aussi des vecteurs, mais à priori pas de même nature que les vecteurs de E)

Effectivement, ces ensembles ne sont pas égaux, mais ils sont canoniquement isomorphes, c'est à dire qu'ils sont isomorphes et que tu peux identifier la base de E avec celle de E**.
C'est exactement ce que tu signales.
a+

invite6de5f0ac · 21/08/2006, 14h43

Envoyé par Latouffe

Je voudrais juste être sûr de ce que ça veut dire : E=E**.

Ca veut juste dire que x** et x ont les mêmes coordonnées dans leurs bases respectives ?
Parce que ce qui me gène, c'est que E contient des vecteurs, alors que E* contient des formes linéaires (qui sont aussi des vecteurs, mais à priori pas de même nature que les vecteurs de E)

Rebonjour,

En fait on n'a pas E=E**, mais E~E** (isomorphisme). Et comme cet isomorphisme est "canonique" (je préfère dire "naturel", c'est moins galvaudé), c-à-d ne dépend pas du choix d'une base dans E ni dans E**, on peut identifier E à E**.

Plus précisément, un vecteur x de E détermine une forme linéaire x** sur E*, en posant x**(f)=f(x) pour toute forme linéaire f de E* (comme expliqué plus haut par rvz). Alors x et x** ont effectivement les mêmes coordonnées dans des bases (e₁,...,e_n) de E, et (e₁**,...,e_n**) de E**.

Attention, contrairement à ce que j'ai pu écrire (trop vite) ailleurs, ce n'est valable qu'en dimension finie (voir l'exemple de L¹).

Pour résumer: si x€E est un vecteur et f€E* une forme linéaire (c-à-d un vecteur dans E*), alors x**€E** est une forme linéaire sur E*, qu'on identifie à un vecteur de E.

Voilà voilà. J'espère que je ne t'ai pas trop embrouillé...

-- françois

invite11f2a3ff · 21/08/2006, 16h52

Ok c limpide, c'est bien ce que j'avais compris. En fait E est isomorphe à E** exactement de la même façon que E est isomorphe à E*.

Ca marche

@+

invite6b1e2c2e · 21/08/2006, 17h02

Eh non, justement, l'isomorphisme entre E et E* en dimension finie n'est pas canonique : Il repose sur le choix d'une base.

__
rvz

invite11f2a3ff · 21/08/2006, 17h11

D'accord, ça roule
Je suis impatient d'étudier ça en détail

@+

Dual de dual ?

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Re : Dual de dual ?

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