dual et espace quotient

[invite298f4897]

Bonjour à tous,

soit F un sous-espace vectoriel de E.

Si je désigne l'application h canonique de E sur l'espace quotient E/F et F° l'orthogonal de F dans E*( dual de E);

Je n'arrive pas à démontrer que transposée(h) est un isomorphisme du dual de (E/F) sur F° ?

ps: connaissez vous un exercice illustrant ce résultat?

MERCI POUR VOS IDEES;
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[invitef4181796]

Bonjour à tous,

soit F un sous-espace vectoriel de E.

Si je désigne l'application h canonique de E sur l'espace quotient E/F et F° l'orthogonal de F dans E*( dual de E);

Je n'arrive pas à démontrer que transposée(h) est un isomorphisme du dual de (E/F) sur F° ?

ps: connaissez vous un exercice illustrant ce résultat?

MERCI POUR VOS IDEES;

Suppose donnée une forme linéaire f, sur E/F. Alors la composition fh est une forme linéaire sur E, qui s'annule sur F. C'est la définition de la transposée de h. Inversement, si tu as une forme lineaire g, sur E, qui s'annule sur F, elle passe au quotient, et définit une forme linéaire sur E/F. Conclusion, transposée de h est un iso entre le dual de E/F, et les formes linéaires sur E, qui s'annulent sur F. Maintenant, choisis une base ortho normée de F, et compléte la en base ortho normée de E. Les formes linéaires sur E, qui s'annulent sur F sont des combinaisons linéaires des produits scalaires avec les vecteurs que tu viens de rajouter (pas ceux de la base de F, les autres). Cela te donne l'identification avec (F orthogonal).

L'exemple le plus simple est je crois (ici +=somme directe) E= R+R, F=0+R, E/F iso à R, avec h(x,y)=x,fh(x,y)=f(x). Là tu vois que fh=0 ssi f=0. D'autre part, si g est linéaire sur E avec g(0,y)=0 pour tout y dans R, on a: g(x,y)=g(x,0), pour tout x dans R. On définit alors f sur R par f(x)= g(x,0). C'est la réciproque de la transposée de h.

[invite298f4897]

merci modulaire pour ta réponse

[martini_bird]

Salut,

quelques idées :

en écrivant et , il suffit de montrer que tu as la suite exacte de sorte que .

En d'autres termes, il faut évaluer le noyau .

Or une forme linéaire f dans ce noyau vérifie soit pour tout x de E (où <, > est le crochet de dualité).

Clairement est dans le noyau N.

Réciproquement, si , alors f s'annule sur les classes modulo F et donc sur .

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises.

Cordialement.

EDIT : croisement avec modulaire ! Faudrait que je pense à ne plus faire 36 choses en même temps...

[A voir en vidéo sur Futura]