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[MPSI]Somme de parties fermées de IR ...



  1. #1
    Romain-des-Bois

    [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...


    ------

    Bonjour à tous,

    que peut-on dire de la somme de deux parties fermées de IR ?
    j'ai montré qu'elle était toujours fermée dans IR, mais comme mon raisonnement me semble un peu bancal (), j'aimerais savoir s'il faut que je cherche dans cette direction (démontrer que la somme est fermée) ou non (trouver un contre-exemple).

    Merci

    Romain

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Citation Envoyé par Romain29
    Bonjour à tous,

    que peut-on dire de la somme de deux parties fermées de IR ?
    j'ai montré qu'elle était toujours fermée dans IR, mais comme mon raisonnement me semble un peu bancal (), j'aimerais savoir s'il faut que je cherche dans cette direction (démontrer que la somme est fermée) ou non (trouver un contre-exemple).

    Merci

    Romain
    Eh non... gnaark gnaark
    prends A les entiers superieurs ou egaux à 2
    prend B les réels de la forme n+(1/n) avec n sup ou égal à 2. A et B sont fermés, 0 est dans l'adhérence de A+B, mais pas dans A+B...

  4. #3
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Citation Envoyé par modulaire
    Eh non... gnaark gnaark
    prends A les entiers superieurs ou egaux à 2
    prend B les réels de la forme n+(1/n) avec n sup ou égal à 2. A et B sont fermés, 0 est dans l'adhérence de A+B, mais pas dans A+B...

    euh... B c'est les réels de la forme -n+(1/n) avec n sup ou égal à 2, excuse moi.

  5. #4
    Eric78

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Qu'appelle tu "somme" de deux parties de IR? A+B={a+b/a dans A et b dans B}?

    Si c'est ca c'est vrai il me semble: tu prend une suite (xn) d'éléments de A+B qui converge vers x. Tu peux alors écrire xn=an+bn avec an une suite de A et bn une suite de B. A et B sont des parties fermés de R, donc bornés et donc tu peux extraire (théorème de Bolzano) a_phi(n) et b_phi(n) qui convergent vers a et b dans A et B car A et B fermés. et donc x tend vers a+b qui est bien dans A+B.

    Sinon, pour modulaire, les entiers supérieurs à 2 ne forment pas une partie fermée de IR. Il suffit de prendre Un=2+n qui tend vers +oo qui n'est pas dans IR.
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ChromoMaxwell

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Non, c'est faux en général. (si j'ai bien compris l'énoncé du moins)

    est dense dans (sinon, cela dirait que racine de 2 est rationnel). S'il était fermé, il serait égal à R, mais racine de 3 n'en fait pas partie.

  8. #6
    GuYem

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Citation Envoyé par Eric78
    Qu'appelle tu "somme" de deux parties de IR? A+B={a+b/a dans A et b dans B}?

    Si c'est ca c'est vrai il me semble: tu prend une suite (xn) d'éléments de A+B qui converge vers x. Tu peux alors écrire xn=an+bn avec an une suite de A et bn une suite de B. A et B sont des parties fermés de R, donc bornés et donc tu peux extraire (théorème de Bolzano) a_phi(n) et b_phi(n) qui convergent vers a et b dans A et B car A et B fermés. et donc x tend vers a+b qui est bien dans A+B.

    Sinon, pour modulaire, les entiers supérieurs à 2 ne forment pas une partie fermée de IR. Il suffit de prendre Un=2+n qui tend vers +oo qui n'est pas dans IR.
    Je crois que ça coince ici, R est fermé mais pas borné.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  10. #7
    homotopie

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Bonjour,
    Les contre-exemples de modulaire et chromomaxwell montrent que le résultat est faux en général.
    Par contre :
    1) compact+fermé=fermé (la preuve d'Eric78, fausse pour la raison donnée par Guyem, fonctionne en la modifiant dans ce cas)
    2) ouvert+ouvert=ouvert.

    cordialement

  11. #8
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Citation Envoyé par homotopie
    Bonjour,
    Les contre-exemples de modulaire et chromomaxwell montrent que le résultat est faux en général.
    Par contre :
    1) compact+fermé=fermé (la preuve d'Eric78, fausse pour la raison donnée par Guyem, fonctionne en la modifiant dans ce cas)
    2) ouvert+ouvert=ouvert.

    cordialement
    Exact !

  12. #9
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Citation Envoyé par Eric78
    Sinon, pour modulaire, les entiers supérieurs à 2 ne forment pas une partie fermée de IR. Il suffit de prendre Un=2+n qui tend vers +oo qui n'est pas dans IR.

    Ouh la la.... Y faudrait reviser un peu la topo avant d'écrire des bétises comme cela

  13. #10
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Citation Envoyé par modulaire
    Ouh la la.... Y faudrait reviser un peu la topo avant d'écrire des bétises comme cela
    Je m'aperçois que mon post précédent n'était pas tres sympa. J'etais pas bien réveillé, mille excuses
    Mais les parties de R, A et B de mon exemple sont bien fermées.

  14. #11
    homotopie

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Salut Eric78 (et aux autres),
    tu auras peut-être corrigé de toi même mais, au cas où, tu confonds compact et fermé. La caractérisation par les suites d'un fermé F d'un espace métrique E est : si une suite d'éléments de F converge dans E alors la limite est dans F. Cette définition ne suppose aucune convergence pour une suite quelconque. Cette notion n'est pas intrinsèque, elle dépend de l'espace E. F est toujours fermé dans lui-même.
    Les compacts métriques se caractérisent par il existe une sous-suite convergente de toute suite (propriété que tu as utilisé pour les fermés quelconques). C'est une notion intrinsèque : elle ne dépend que de l'espace F pas de l'espace E dans lequel f est éventuellement plongé.

    Cordialement

    PS : on a mieux que ouvert+ouvert=ouvert
    en fait ouvert+sous-espace quelconque=ouvert
    Soit a+b dans la somme, V un voisinage ouvert de a inclus dans le 1er ouvert, V+b est un voisinage ouvert de a+b inclus dans la somme des deux espaces.

  15. #12
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Je dirais meme plus: ouvert + (sous ensemble quelconque)= ouvert. La demo d'homotopie marche aussi dans ce cas là

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  17. #13
    Eric78

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Oups, effectivement je devrais aller réviser un petit peu ^^ (voir beaucoup en ces periodes de concours...). Mais bon au moins ca m'a rafraichi la mémoire sur les ouvert/fermés.
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  18. #14
    homotopie

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Citation Envoyé par modulaire
    Je dirais meme plus: ouvert + (sous ensemble quelconque)= ouvert. La demo d'homotopie marche aussi dans ce cas là
    Un sous ensemble d'un espace topologique peut toujours être vu comme un sous espace et il y a toujours un sous ensemble définissant un sous espace. Je n'ai rien supposé sur mon sous espace, il pouvait être aussi régulier ou aussi pathologique que l'on veut.
    On dit donc la même chose mais avec des mots différents.

    Cordialement

  19. #15
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Oui, excuse moi , homotopie, j'avais compris sous espace vectoriel, désolé. C'est donc un de plus pour ma collection. (je sortais juste d'un exo sur les matrices, c'est pour ça)

    Allez, les petits.... on rentre....

  20. #16
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    En plus je vois que tu as pris soin d'écrire "on a mieux que ouvert+ouvert=ouvert". Non, alors là vraiment, c'est un pour moi. Je devrais moins forcer sur la tisane.

  21. #17
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    Bon, ben merci à tous... (et tant pis pour moi puisque ma démo n'est pas bonne !!!)

    Romain

  22. #18
    modulaire

    Re : [MPSI]Somme de parties fermées de IR ...

    De rien, on a bien rigolé, quand même !
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

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