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densité des transcendants



  1. #1
    metacarambar

    densité des transcendants


    ------

    Je ne sais pas si "densité" est le terme qu'il faille employer, mais je me pose la question suivante: si je choisi dans IR un irrationnel quelconque ai-je plus de chance de tomber sur un algébrique ou sur un transcendant ?
    y-a-il une démonstration abordable d'un tel résultat ?

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : densité des transcendants

    Sauf erreur, l'ensemble des nombres algébriques étant dénombrable, il y a plus de nombres transcendants.

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : densité des transcendants

    Bonsoir,

    Vieilles réminiscences: Comme les algébriques sont dénombrables, A est de mesure nulle au sens de Lebesgue (?) dans R, donc la probabibilité de tirer au hasard un algébrique est exactement égale à 0. Non?

    En terme de démonstration, une fois acceptée la théorie de la mesure et la relation entre continu et dénombrable (!), il suffit de montrer que A est dénombrable, ce qui est a peu près immédiat à partir de la définition d'algébrique comme un nombre annulant un polynôme de degré fini et à coefficients entiers.

    Cordialement,

  5. #4
    matthias

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par mmy
    la probabibilité de tirer au hasard un algébrique est exactement égale à 0.
    On entend souvent cette interprétation probabiliste. Pourtant tirer au hasard un réel ça ne signifie pas grand-chose ...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    GuYem

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par matthias
    On entend souvent cette interprétation probabiliste. Pourtant tirer au hasard un réel ça ne signifie pas grand-chose ...
    +1, ça ne signifie pas grand chose.

    Il vaut mieux se contenter que les algébriques sont de mesures nulles pour lebesgue sur R.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  8. #6
    fderwelt

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par GuYem
    Il vaut mieux se contenter que les algébriques sont de mesures nulles pour lebesgue sur R.
    Bonsoir,

    Si je me rappelle bien mes cours de proba, proba = mesure (événement) / mesure (univers)... donc mesure nulle <=> proba nulle.
    Non?

    -- françois

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  10. #7
    Amethyste

    Re : densité des transcendants

    ta définition est fausse si l'univers en question est infini

    sans être mathématicien je pense que tu donnes la une définition valable uniquement dans un ensemble discret.

    Qu'en pensent les vrais matheux ici?

  11. #8
    matthias

    Re : densité des transcendants

    En l'occurence mesure(univers) = 1.
    Mais quelle mesure sur quelle tribu ? Et quid de l'équiprobabilité supposée ?

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par Amethyste
    ta définition est fausse si l'univers en question est infini

    sans être mathématicien je pense que tu donnes la une définition valable uniquement dans un ensemble discret.

    Bonsoir,

    Je ne pense pas. C'est bien UNE définition de la notion de probabilité sur un univers infini. Le problème est plutôt celui de la signification "mentale" du mot "probabilité". Si on reste en mathématique pure, on discute de mots, et une définition en vaut une autre. Maintenant, si on cherche à se rapporter à une "réalité", il faudrait définir un protocole pratique permettant de "tirer au hasard un réel de manière uniforme", et là ça devient franchement difficile, non?

    Cordialement,

  13. #10
    Amethyste

    Re : densité des transcendants

    autant pour moi, j'avais lu un truc comme cardinal plutôt que mesure.

    Dans ce cas, je n'ai rien dis, je ne comprends même pas les commentaires faits!

  14. #11
    martini_bird

    Re : densité des transcendants

    Salut,

    pour décrire un nombre réel quelconque, il faudrait se donner une infinité de chiffres (entre 0 et 9 par exemple) et une position pour la virgule, ce qui est irréalisable en pratique...

    Question : si on considère le sous-ensemble des nombres réels que l'on peut définir de manière effective (e.g. ) : est-il dénombrable ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #12
    invite986312212
    Invité

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    pour décrire un nombre réel quelconque, il faudrait se donner une infinité de chiffres (entre 0 et 9 par exemple) et une position pour la virgule, ce qui est irréalisable en pratique...

    Question : si on considère le sous-ensemble des nombres réels que l'on peut définir de manière effective (e.g. ) : est-il dénombrable ?

    Cordialement.
    c'est plus petit que l'ensemble des suites finies de symboles, ou bien?

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  17. #13
    martini_bird

    Re : densité des transcendants

    Oui, en effet.

    Donc on ne peut même pas nommer la plupart des nombres réels.

    "Choisir un nombre réel au hasard" n'a donc aucun sens.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  18. #14
    Amethyste

    Re : densité des transcendants

    Choisir un nombre réel au hasard" n'a donc aucun sens.

    là je ne comprends pas.
    Il y a pourtant des tas de émonstrations mathématique où apparaît un truc du style: soit x un réel.

    C'est quoi si ce n'est choisir un réel au hasard?

  19. #15
    martini_bird

    Re : densité des transcendants

    Salut,

    tu as tout à fait raison, mais en écrivant soit x un réel, on ne construit pas x de manière effective.

    Il y a un axiome qui permet de faire ce choix : c'est l'axiome du choix (logique).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  20. #16
    modulaire

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par martini_bird
    Oui, en effet.

    Donc on ne peut même pas nommer la plupart des nombres réels.

    "Choisir un nombre réel au hasard" n'a donc aucun sens.
    Chaque nombre a une probabilité nulle d'être tiré, et pourtant, un nombre sortira du tirage. Alors?
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  21. #17
    invite986312212
    Invité

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par ambrosio
    c'est plus petit que l'ensemble des suites finies de symboles, ou bien?
    et cet ensemble est dénombrable, si on admet que l'ensemble des symboles est dénombrable (je crois même qu'on acceptera facilement qu'il est fini)

  22. #18
    matthias

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par modulaire
    Chaque nombre a une probabilité nulle d'être tiré, et pourtant, un nombre sortira du tirage. Alors?
    Alors rien, ça ne sert à rien de parler de tirage tant qu'on a pas défini un espace probabilisé digne de ce nom.

    Voici un paradoxe classique qui illustre le genre de problèmes que l'on peut rencontrer quand on fait des probas à la va-vite:
    On dispose une somme d'argent X dans une enveloppe, et la somme 2X dans une autre. On propose à une personne de choisir une des deux enveloppes. Il empochera ce qu'elle contient. Mais avant qu'il ne l'ouvre, on lui propose d'échanger les enveloppes.
    La personne se fait la réflexion suivante : il y a une somme Y dans l'enveloppe que j'ai choisie. L'autre enveloppe contient une somme Y/2 avec une probabilité 1/2 ou une somme 2Y avec également une probabilité 1/2. Espérance de gain en changeant d'enveloppe : 5Y/4. Donc il vaut mieux changer d'enveloppe, ce qui est absurde ...

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  24. #19
    invite986312212
    Invité

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par modulaire
    Chaque nombre a une probabilité nulle d'être tiré, et pourtant, un nombre sortira du tirage. Alors?
    une méthode pour calculer une probabilité en relation avec "un réel au hasard" pourrait être de calculer cette probabilité pour un réel uniforme dans [-x,x], et de faire tendre x vers l'infini. Pour la question des nombres algébriques, c'est zéro quel que soit x. Mais je ne crois pas que cette méthode s'applique à tous les cas.

  25. #20
    martini_bird

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par modulaire
    Chaque nombre a une probabilité nulle d'être tiré, et pourtant, un nombre sortira du tirage. Alors?
    Le nombre qui sort du tirage est un nombre que l'on peut nommer, il y en a plein qui ne sortiront donc jamais.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  26. #21
    matthias

    Re : densité des transcendants

    J'avoue que je ne vois pas trop le rapport avec la possibilité de le "nommer" ou non. On peut définir une proba sur R, mais pas avec une densité uniforme.

  27. #22
    modulaire

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par matthias
    On dispose une somme d'argent X dans une enveloppe, et la somme 2X dans une autre. On propose à une personne de choisir une des deux enveloppes. Il empochera ce qu'elle contient. Mais avant qu'il ne l'ouvre, on lui propose d'échanger les enveloppes.
    La personne se fait la réflexion suivante : il y a une somme Y dans l'enveloppe que j'ai choisie. L'autre enveloppe contient une somme Y/2 avec une probabilité 1/2 ou une somme 2Y avec également une probabilité 1/2. Espérance de gain en changeant d'enveloppe : 5Y/4. Donc il vaut mieux changer d'enveloppe, ce qui est absurde ...
    Je ne suis pas sur que ce paradoxe soit de meme nature que celui qui nous intéressse. Là, on a affaire à une variable aléatoire maltraitée. Le paradoxe disparait si l'on remplace les billets par des sujets d'examens, et la personne par un étudiant qui a fait l'impasse sur l'un des deux sujets.....
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  28. #23
    invite986312212
    Invité

    Re : densité des transcendants

    moi non plus je ne vois pas bien le rapport. Par contre, si on pense simulation informatique, se pose la question des nombres qu'un générateur de nombres aléatoires peut produire. Selon les méthodes, ça peut être beaucoup moins que les 2^32 ou 2^64 réels représentables.

  29. #24
    martini_bird

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par matthias
    J'avoue que je ne vois pas trop le rapport avec la possibilité de le "nommer" ou non. On peut définir une proba sur R, mais pas avec une densité uniforme.
    Oups désolé, je n'avais pas vu ton message.

    La question des réels que l'on peut nommer n'est pas tout à fait dans l'esprit du fil, mais c'est une question connexe malgré tout.

    Sinon, on peut proposer une probabilité "presque" uniforme sur R en projetant R sur le cercle.

    Cordialement.

    PS : hop, 4000!
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  31. #25
    matthias

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par modulaire
    Je ne suis pas sur que ce paradoxe soit de meme nature que celui qui nous intéressse. Là, on a affaire à une variable aléatoire maltraitée.
    Pas vraiment. Il n'y a même pas de variable aléatoire digne de ce nom dans ce paradoxe, puisqu'il n'y a même pas d'espace probabilisé qui soit défini.

  32. #26
    modulaire

    Re : densité des transcendants

    Citation Envoyé par matthias
    Pas vraiment. Il n'y a même pas de variable aléatoire digne de ce nom dans ce paradoxe, puisqu'il n'y a même pas d'espace probabilisé qui soit défini.
    Ah bon? Moi je voyais un espace probabilisé à deux points, avec mesure 1/2 pour chacune des deux, et une v.a. qui envoie un point sur Y, l'autre sur 2Y (mais j'ai peut etre mal compris)
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

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