densité des fonctions en escalier

[invite1ff1de77]

bonjour,
je désire montrer de pour une fonction " f "continue sur [a,b] ,telle que pour toute fonction " g " en escalier
l'integrale de a à b de f(t)g(t)dt =0
on a f =0

voila ce que j'ai fait
tout dépend du signe de f(t)g(t)
puisque f est continue il existe h et u en escalier tel que
h =< f =< u
je construis une fonction en escalier w
tel que
w=u si f est positive
w=h si f est négative
donc dans ce cas
f(t)w(t) est positif
donc puisque l'integrale est nulle
f(t)w(t) =0
ce qui impliqu que f est nulle
j'aimerais savoir si mon idée est juste ou pas
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[invite4ef352d8]

Salut !


ou plus rapidement (mais moins "simplement") f est continu, donc il existe une suite fn de fonction en escalier qui converge uniformement vers f vers f.


pour tous n, l'intégral de fn*f est nul.

or f est borné et fn converge uniformement vers f, donc l'intégral de fn*f tend vers l'intégral de f² quand n>+inf.

donc l'intégral de f² est nul, et donc comme f est continu, on en conclu f=0.

[invite4ef352d8]

ah si il y a un tous petit "hic" dans ta methode.


tu en conclue que w(t)*f(t) est positif et d'intégral nul. donc c'est nul... "presque partous", le probleme c'est que comme w est pas continu ca te dit juste que c'est nul sauf en un nombre finit de point...

c'est pas vraiment un obstacle, mais il va falloir préciser comment tu définit w au point de discontinuité pour gérer ce petit probleme... mais c'est presque du pinaillage...

[invite4ef352d8]

bien sur quand je dis "sauf en un nombre finit de point" c'est parceque c'est continu par morcaux c'est nul partous ou c'est continu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ff1de77]

bonjour,
mais attendez
si f est nulle sauf en un nombre fini de points elle est nécessairement nulle en ces points
parce qu'elle est continue
je ne vois pas le problème Ksilver

[invite3f53d719]

Bah non, le produit d'une fonction en escalier par une fonction continue est continue par morceau, et pas nécessairement continue...