densité des fonctions en escalier
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densité des fonctions en escalier



  1. #1
    invite1ff1de77

    densité des fonctions en escalier


    ------

    bonjour,
    je désire montrer de pour une fonction " f "continue sur [a,b] ,telle que pour toute fonction " g " en escalier
    l'integrale de a à b de f(t)g(t)dt =0
    on a f =0

    voila ce que j'ai fait
    tout dépend du signe de f(t)g(t)
    puisque f est continue il existe h et u en escalier tel que
    h =< f =< u
    je construis une fonction en escalier w
    tel que
    w=u si f est positive
    w=h si f est négative
    donc dans ce cas
    f(t)w(t) est positif
    donc puisque l'integrale est nulle
    f(t)w(t) =0
    ce qui impliqu que f est nulle
    j'aimerais savoir si mon idée est juste ou pas
    ........

    -----

  2. #2
    invite4ef352d8

    Re : densité des fonctions en escalier

    Salut !


    ou plus rapidement (mais moins "simplement") f est continu, donc il existe une suite fn de fonction en escalier qui converge uniformement vers f vers f.


    pour tous n, l'intégral de fn*f est nul.

    or f est borné et fn converge uniformement vers f, donc l'intégral de fn*f tend vers l'intégral de f² quand n>+inf.

    donc l'intégral de f² est nul, et donc comme f est continu, on en conclu f=0.

  3. #3
    invite4ef352d8

    Re : densité des fonctions en escalier

    ah si il y a un tous petit "hic" dans ta methode.


    tu en conclue que w(t)*f(t) est positif et d'intégral nul. donc c'est nul... "presque partous", le probleme c'est que comme w est pas continu ca te dit juste que c'est nul sauf en un nombre finit de point...

    c'est pas vraiment un obstacle, mais il va falloir préciser comment tu définit w au point de discontinuité pour gérer ce petit probleme... mais c'est presque du pinaillage...

  4. #4
    invite4ef352d8

    Re : densité des fonctions en escalier

    bien sur quand je dis "sauf en un nombre finit de point" c'est parceque c'est continu par morcaux c'est nul partous ou c'est continu.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite1ff1de77

    Re : densité des fonctions en escalier

    bonjour,
    mais attendez
    si f est nulle sauf en un nombre fini de points elle est nécessairement nulle en ces points
    parce qu'elle est continue
    je ne vois pas le problème Ksilver

  7. #6
    invite3f53d719

    Re : densité des fonctions en escalier

    Bah non, le produit d'une fonction en escalier par une fonction continue est continue par morceau, et pas nécessairement continue...

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