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densité des fonctions en escalier



  1. #1
    the strange

    densité des fonctions en escalier


    ------

    bonjour,
    je désire montrer de pour une fonction " f "continue sur [a,b] ,telle que pour toute fonction " g " en escalier
    l'integrale de a à b de f(t)g(t)dt =0
    on a f =0

    voila ce que j'ai fait
    tout dépend du signe de f(t)g(t)
    puisque f est continue il existe h et u en escalier tel que
    h =< f =< u
    je construis une fonction en escalier w
    tel que
    w=u si f est positive
    w=h si f est négative
    donc dans ce cas
    f(t)w(t) est positif
    donc puisque l'integrale est nulle
    f(t)w(t) =0
    ce qui impliqu que f est nulle
    j'aimerais savoir si mon idée est juste ou pas
    ........

    -----
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

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  4. #2
    Ksilver

    Re : densité des fonctions en escalier

    Salut !


    ou plus rapidement (mais moins "simplement") f est continu, donc il existe une suite fn de fonction en escalier qui converge uniformement vers f vers f.


    pour tous n, l'intégral de fn*f est nul.

    or f est borné et fn converge uniformement vers f, donc l'intégral de fn*f tend vers l'intégral de f² quand n>+inf.

    donc l'intégral de f² est nul, et donc comme f est continu, on en conclu f=0.

  5. #3
    Ksilver

    Re : densité des fonctions en escalier

    ah si il y a un tous petit "hic" dans ta methode.


    tu en conclue que w(t)*f(t) est positif et d'intégral nul. donc c'est nul... "presque partous", le probleme c'est que comme w est pas continu ca te dit juste que c'est nul sauf en un nombre finit de point...

    c'est pas vraiment un obstacle, mais il va falloir préciser comment tu définit w au point de discontinuité pour gérer ce petit probleme... mais c'est presque du pinaillage...

  6. #4
    Ksilver

    Re : densité des fonctions en escalier

    bien sur quand je dis "sauf en un nombre finit de point" c'est parceque c'est continu par morcaux c'est nul partous ou c'est continu.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    the strange

    Re : densité des fonctions en escalier

    bonjour,
    mais attendez
    si f est nulle sauf en un nombre fini de points elle est nécessairement nulle en ces points
    parce qu'elle est continue
    je ne vois pas le problème Ksilver
    "En mathématique on ne comprend pas les choses ... on s'y habitue"

  9. #6
    Eric78

    Re : densité des fonctions en escalier

    Bah non, le produit d'une fonction en escalier par une fonction continue est continue par morceau, et pas nécessairement continue...
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

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