Fonctions en escalier "usuelles"

[invite7d436771]

Bonjour !

J'ai un petit problème concernant les fonctions en escaliers : En existe-t-il parmi les "usuelles" (pas en les construisant par morceaux de telle manière) ?
Je m'explique. Pour les fonctions en escalier sur un segment pas de problème (x->E(x) en serait une). Cependant dans la définition de mon cours pour le cas où on ne travaille pas sur un segment mais sur un intervalle ou R par exemple, la fonction susdite ne convient pas. En effet, il faudrait trouver un segment telle que sa restriction à ce segment soit en escalier et nulle en dehors ... Ce qui ne me semble pas possible pour partie entière...
Pensant que c'était l'exemple type de la fonctio en escalier, j'en viens à me demander s'il existe des fonctions en escalier "usuelles".

Cordialement,

Nox
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[g_h]

Salut,

Je ne comprends pas bien... c'est quoi, pour toi, une "fonction en escalier sur " ? (comment l'as-tu défini en cours ?)

Je ne comprends pas cette histoire de "nullité en dehors"

[invite7d436771]

Bonjour !

f appartenant à l'ensemble des fonctions de R à valeurs dans K est dite en escalier s'il existe un segment [a,b] tel que :
* la restriction de f à [a,b] soit en escalier
* f est nulle en dehors de [a,b]

Comme vous allez me demander la déf de fonction en escalier sur un segment ...

f appartenant aux fonctions de [a,b] dans K est dite en escalier s'il existe () i variant de 0 à n subdivision de [a,b] telle que pour tout i entre 1 et n la restriction de f à l'intervalle ouvert soit constante

Cordialement,

Nox

[invited9d78a37]

je vois la fonction heaviside
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Heaviside
du genre la somme de fonction heavisde h(x)

f(x)=4h(x)-h(x-1)-h(x-2)-2h(x-3)

sur l'intervalle [0;3]

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

Ha tiens, c'est marrant...

La plus "usuelle" que je vois, c'est la "fonction porte" (cf. wikipedia), mais qui est plus utilisée ailleurs qu'en maths pures je pense !
Pourquoi ces questions ? Car "usuelle" est un qualificatif un peu flou pour une fonction

[g_h]

je vois la fonction heaviside
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Heaviside
du genre la somme de fonction heavisde h(x)

f(x)=4h(x)-h(x-1)-h(x-2)-2h(x-3)

sur l'intervalle [0;3]

Je ne sais pas si c'est très usuel comme fonction
(et heaviside toute seule n'est pas en escaliers)

[invited9d78a37]

petite bourde..dsl mal compris poste précedent

je pensais a heaviside avec l'electronique, c'est tout!
pour le fait que ca soit usuelle , effectivement je suis a coté!

[g_h]

on voit que ca fait longtemps (ou jamais )que tu as faite de l'optique ondulatoire, surtout pour la diffraction!

Oui, ça rejoint la remarque que j'écris au dessus au sujet de la fonction porte, c'est aussi valable pour Heaviside. En traitement du signal on s'en sert (quoique je n'ai suivi que des cours au niveau "initiation"), ailleurs surement aussi comme tu le dis, mais en maths... ?


EDIT : nous nous sommes compris

[invite7d436771]

Bonjour !

J'avais pensé à la fonction de Heaviside mais elle ne correspond pas à la définition que j'ai pour les fonctions en escalier sur R. En gros mon problème c'est que je vois bien des fonctions en escalier sur un segment sans problème mais la définition de fonctions en escalier sur R me laisse perplexe ... J'ai utilisé le terme usuelle pour exclure les fonctions définies par morceaux, ce qui est le cas de la fonction porte il me semble.. Je voulais dire plutôt qu'usuelle "qui soit définie de manière unique sur R" ie qu'on ait f(x) = ... pour tout x de R sans distinguer des cas sur x .. Il me faudrait juste une fonction écrite sous la forme f(x) vaut tant sans condition sur x qui vérifient les 2 conditions de mon cours ... (cf post #3)

Cordialement,

Nox

PS toutes ces questions par simples curiosité ... et pour avoir un exemple au cas où j'en aurais besoin ...

[g_h]

Bon, on peut en inventer une alors !

La plus bête possible :

Ou une fonction qui soit plus "en escaliers" :

[g_h]

Mais en fait, qu'est-ce que la fonction partie entière, si ce n'est une fonction définie par morceaux... et sur chaque intervalle de 1 en plus

[invite7d436771]

Bonjour !

Magnifique ! Cette fonction g me plaît beaucoup !Merci g_h ! Même s'il est vrai que la fonction partie entière est définie par morceaux je la considère dans mes fonctions usuelles car sinon on est pas sorti (si on exclut la fonction constante nulle)

Cordialement,

Nox

[invite7d436771]

Bonjour !

Et si pousse la difficulté en enlevant les fonctions utilisant la partie entière ? J'ai pensé à
Mais même en montant la puissance (200 au lieu du carré par exemple) je vais toujours rester sur un tout petit intervalle où elle ne sera pas en escalier... C'est le même problème que pour les décompositions (ou développement je ne sais pas trop qu'elle est la différence ...) en série de Fourier d'un créneau .. (avec le phénomène de Gibbs) J'en viens donc à me demander s'il est possible d'avoir des expressions "explicites" de fonctions ayant une discontinuité .. Je pense que non mais comment le démontrer ? (désolé d'avoir dévié du sujet initial ...)

Cordialement,

Nox

[g_h]

J'en viens donc à me demander s'il est possible d'avoir des expressions "explicites" de fonctions ayant une discontinuité .. Je pense que non mais comment le démontrer ?

Ton arcsin(sin(x)) devrait te mettre la puce à l'oreille
Si tu le dérives, ça va te faire une fonction en escaliers sur tout intervalle fini de , qui n'est autre que :

qui est une fonction discontinue en "plein" de points

Plus simplement, tu peux construire la fonction signe:

qui n'est pas définie en 0 et discontinue en 0.

et avec ça tu peux effectivement construire une fonction en escalier sur R sans utiliser la partie entière.