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Détermination de morphismes



  1. #1
    invite43219988

    Détermination de morphismes


    ------

    Bonjour tout le monde.

    J'aimerais que vous me disiez si les résultats suivants sont justes et que la réponse soit bonne ou non, que vous me disiez comment vous vous y seriez pris pour obtenir la réponse !

    Je dois trouver tous les morphismes de :

    (Q,+)->(Q,+)
    Je trouve Phi : x -> a.x (a appartient à Z)

    (Q,+)->(Z,+)
    Phi : x->0

    (Q,+)->(Q*,x)
    Phi : x->1

    (Z,+)->(Z/nZ,+)
    Phi : x->x(1+nZ) (euh là j'avoue que j'y crois plus du tout)


    Merci d'avance !

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Détermination de morphismes

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Je dois trouver tous les morphismes de :
    Je suppose que ce sont des morphismes d'anneaux, il faut préciser car les morphismes de groupes sont plus nombreux, les morphismes d'anneaux unitaires seraient en quantité moindre.

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    (Q,+)->(Q,+)
    Je trouve Phi : x -> a.x (a appartient à Z)
    Pourquoi Z? a appartient à Q.
    Comment le montrer, perso :
    f(m/n)=f(m.1/n)=m.f(1/n) (cf l'autre topic)
    n.f(1/n)=f(1) donc f(1/n)=f(1)/n
    f(m/n)=(m/n)f(1)
    ou encore en posant x=m/n et a=f(1)
    f(x)=ax (vérifié pour x distinct de 0, et on vérifie aisément pour x=0)

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    (Q,+)->(Z,+)
    Phi : x->0
    Oui,
    n.f(1/n)=f(1) donc f(1) est "divisible" par tout entier n donc est égal à 0. On a aussi f(1/n)=0 (cf cette 1ère égalité) f(m/n)=m.f(1/n)=0.

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    (Q,+)->(Q*,x)
    Phi : x->1
    Pour tout entier n, on a f(1)=f(n.1/n)=f(1/n+1/n+...+1/n)=f(1/n)xf(1/n)x...xf(1/n)=f(1/n)^n
    Soit un rationnel, q=p^k.a/b, p premier positif k entier relatif, a et b premiers entre eux et avec p. cette écriture est unique (m entier relatif, n entier naturel) pour p fixé.
    q^n=p^(nk).(a^n/b^n) est l'écriture de sa puissance n-ème.
    f(1) est une puissance n-ème pour tout n donc f(1)=p^? .(a'/b') avec ? qui est divisble par tout entier n donc ?=0
    Si f(1) distinct de 1 et de -1, alors on peut exhiber un premier p tel que f(1)=p^! .(a'/b') avec ! non nul.
    f(1)=1 ou -1 mais doit être un carré donc f(1)=1.
    nsuite f(m/n)=(f(1))^(m/n)=1.


    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    (Z,+)->(Z/nZ,+)
    Phi : x->x(1+nZ) (euh là j'avoue que j'y crois plus du tout)
    Non, il existe n morphismes distincts
    Existence composé de morphismes :
    Z ->Z ->Z/nZ
    celui à droite est le morphisme quotient h
    celui à gauche est g(x)=a.g(x) avec a entier
    La composée est un morphisme qui envoie 1 (de Z) sur a+nZ
    Reste à montrer que :
    1) deux morphismes de ce type (a et a') sont égaux si et seulement si a=a' modulo n
    2) tout morphisme est de ce type (il suffit de montrer, ce qui est facile, que tout morphisme est déterminer par f(1))

    Cordialement

  3. #3
    invite43219988

    Re : Détermination de morphismes

    Merci beaucoup.

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