Bonjour tout le monde.
J'aimerais que vous me disiez si les résultats suivants sont justes et que la réponse soit bonne ou non, que vous me disiez comment vous vous y seriez pris pour obtenir la réponse !
Je dois trouver tous les morphismes de :
(Q,+)->(Q,+)
Je trouve Phi : x -> a.x (a appartient à Z)
(Q,+)->(Z,+)
Phi : x->0
(Q,+)->(Q*,x)
Phi : x->1
(Z,+)->(Z/nZ,+)
Phi : x->x(1+nZ) (euh là j'avoue que j'y crois plus du tout)
Merci d'avance !
Bonjour,
Je suppose que ce sont des morphismes d'anneaux, il faut préciser car les morphismes de groupes sont plus nombreux, les morphismes d'anneaux unitaires seraient en quantité moindre.Envoyé par Ganash
Pourquoi Z? a appartient à Q.
Comment le montrer, perso :
f(m/n)=f(m.1/n)=m.f(1/n) (cf l'autre topic)
n.f(1/n)=f(1) donc f(1/n)=f(1)/n
f(m/n)=(m/n)f(1)
ou encore en posant x=m/n et a=f(1)
f(x)=ax (vérifié pour x distinct de 0, et on vérifie aisément pour x=0)
Oui,
n.f(1/n)=f(1) donc f(1) est "divisible" par tout entier n donc est égal à 0. On a aussi f(1/n)=0 (cf cette 1ère égalité) f(m/n)=m.f(1/n)=0.
Pour tout entier n, on a f(1)=f(n.1/n)=f(1/n+1/n+...+1/n)=f(1/n)xf(1/n)x...xf(1/n)=f(1/n)^n
Soit un rationnel, q=p^k.a/b, p premier positif k entier relatif, a et b premiers entre eux et avec p. cette écriture est unique (m entier relatif, n entier naturel) pour p fixé.
q^n=p^(nk).(a^n/b^n) est l'écriture de sa puissance n-ème.
f(1) est une puissance n-ème pour tout n donc f(1)=p^? .(a'/b') avec ? qui est divisble par tout entier n donc ?=0
Si f(1) distinct de 1 et de -1, alors on peut exhiber un premier p tel que f(1)=p^! .(a'/b') avec ! non nul.
f(1)=1 ou -1 mais doit être un carré donc f(1)=1.
nsuite f(m/n)=(f(1))^(m/n)=1.
Non, il existe n morphismes distincts
Existence composé de morphismes :
Z ->Z ->Z/nZ
celui à droite est le morphisme quotient h
celui à gauche est g(x)=a.g(x) avec a entier
La composée est un morphisme qui envoie 1 (de Z) sur a+nZ
Reste à montrer que :
1) deux morphismes de ce type (a et a') sont égaux si et seulement si a=a' modulo n
2) tout morphisme est de ce type (il suffit de montrer, ce qui est facile, que tout morphisme est déterminer par f(1))
Cordialement
Merci beaucoup.
