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morphismes de G dans C*



  1. #1
    indian58

    morphismes de G dans C*


    ------

    Bonjour à tous,

    voilà le problème: soit G un groupe fini commutatif multiplicatif. On appelle G' l'ensemble des morphismes de G dans (,x). La question est de savoir si on peut trouver x dans G différent de l'élément neutre tel que pour tout f de G', f(x)=1.

    Si G est cyclique, la réponse est non. Le problème est quand G n'est pas cyclique. Est-ce que quelqu'un aurait une idée??

    Merci.

    -----

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  3. #2
    doryphore

    Smile Re : morphismes de G dans C*

    Je connais ce résultat qui peut sans doute t'intéresser:

    Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    indian58

    Re : morphismes de G dans C*

    Alors Im f est un sous-groupe cyclique engendré par a. D'ailleurs il s'agit du sous-groupe des racines p-ièmes de l'unité où p est le ppcm des ordres des éléments de G. Mais ensuite??

    Ou alors, n'existe-t-il pas un théorème permettant de décomposer G en produit de groupes cycliques??

  5. #4
    matthias

    Re : morphismes de G dans C*

    Citation Envoyé par indian58
    Ou alors, n'existe-t-il pas un théorème permettant de décomposer G en produit de groupes cycliques??
    Si, le théorème de structure des groupes abéliens de type fini: pour tout groupe abélien de type fini, il existe un entier r et des entiers di, avec di divise di+1, tels que le groupe soit isomorphe à
    et cette décomposition est unique.
    Pour un groupe abélien fini, tu n'as pas le terme en

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    indian58

    Re : morphismes de G dans C*

    ok. Mais sans ce théorème (qui ne fait partie du programme de taupe si je ne me trompe) comment on fait??

  8. #6
    martini_bird

    Re : morphismes de G dans C*

    Salut,

    comme G est fini, tout élément est d'ordre fini. Soit différent de et son ordre de telle sorte que . Il est clair que le groupe engendré par est fini.

    Soit un caractère (G' est appelé le groupe dual de G, et ses éléments des caractères): de , il vient que est une racine -ième de l'unité. On peut donc définir un caractère non trivial sur en posant par exemple .

    Il ne reste plus qu'à essayer d'étendre ce caractère au groupe G tout entier pour montrer que le seul élément qui s'envoie sur 1 par tous les caractères est l'élément neutre e. Je te laisse chercher cette dernière partie.

    Cordialement.

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