morphismes de G dans C*

[invited5b2473a]

Bonjour à tous,

voilà le problème: soit G un groupe fini commutatif multiplicatif. On appelle G' l'ensemble des morphismes de G dans (,x). La question est de savoir si on peut trouver x dans G différent de l'élément neutre tel que pour tout f de G', f(x)=1.

Si G est cyclique, la réponse est non. Le problème est quand G n'est pas cyclique. Est-ce que quelqu'un aurait une idée??

Merci.
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[invite3bc71fae]

Je connais ce résultat qui peut sans doute t'intéresser:

Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique...

[invited5b2473a]

Alors Im f est un sous-groupe cyclique engendré par a. D'ailleurs il s'agit du sous-groupe des racines p-ièmes de l'unité où p est le ppcm des ordres des éléments de G. Mais ensuite??

Ou alors, n'existe-t-il pas un théorème permettant de décomposer G en produit de groupes cycliques??

[invitec314d025]

Ou alors, n'existe-t-il pas un théorème permettant de décomposer G en produit de groupes cycliques??

Si, le théorème de structure des groupes abéliens de type fini: pour tout groupe abélien de type fini, il existe un entier r et des entiers d_i, avec d_i divise d_i+1, tels que le groupe soit isomorphe à
et cette décomposition est unique.
Pour un groupe abélien fini, tu n'as pas le terme en

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

ok. Mais sans ce théorème (qui ne fait partie du programme de taupe si je ne me trompe) comment on fait??

[invite4793db90]

Salut,

comme G est fini, tout élément est d'ordre fini. Soit différent de et son ordre de telle sorte que . Il est clair que le groupe engendré par est fini.

Soit un caractère (G' est appelé le groupe dual de G, et ses éléments des caractères): de , il vient que est une racine -ième de l'unité. On peut donc définir un caractère non trivial sur en posant par exemple .

Il ne reste plus qu'à essayer d'étendre ce caractère au groupe G tout entier pour montrer que le seul élément qui s'envoie sur 1 par tous les caractères est l'élément neutre e. Je te laisse chercher cette dernière partie.

Cordialement.