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Nombre de morphismes



  1. #1
    Bleyblue

    Nombre de morphismes


    ------

    Bonjour,

    Bonne année à tous !

    Si j'ai (G,*) et (H,.) deux groupes d'ordre n et m respectivement (n et m deux entiers naturels > 0), savez vous s'il est possible de déterminer le nombre exact de morphismes du premier groupe sur le second ?

    J'ai essayé de réfléchir un coup mais je ne vois pas même si je donne des valeurs particulières à m et n .
    La seule chose qui est certaine c'est que ce nombre sera compris entre 1 et mn mais je ne parviens pas à être plus précis

    Une idée ?

    merci !

    -----

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : Nombre de morphismes

    J'ai jeté un coup d'oeil au topic sur les anneaux ouvert par Ganash il y a un petit temps (mais ça parle aussi de groupes je ne pouvais pas savoir ...) et apparament il n'y a pas de méthode générale (merci à martini_bird)

    Mais j'ai ici une question d'examen (j'ai un examen d'algèbre bientôt ) dans laquelle ils me demandent de déterminer le nombre de morphismes dans le cas particulier n = 23 et m = 7
    Il y a une astuce pour ces deux nombres la en particulier ?

    merci

  4. #3
    homotopie

    Re : Nombre de morphismes

    Bonjour et bonne année,
    pour le cas particulier n=23 et m=7.
    Soit tu sais qu'un groupe d'ordre un premier est un groupe cyclique et alors ça va vite de montrer que le seul morphisme possible est le trivial (tout est envoyé sur 0).
    Sinon, ce n'est guère plus compliqué :
    image du morphisme est d'un ordre a divisant 7 car...
    le noyau est d'un ordre b (divisant 23, ça n'a pas grande importance d'ailleurs, car...)
    a.b=23 (car...) donc a divise 7 et 23 d'où a=1. Le seul morphisme possible est le morphisme trivial.

  5. #4
    fderwelt

    Re : Nombre de morphismes

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Mais j'ai ici une question d'examen (j'ai un examen d'algèbre bientôt ) dans laquelle ils me demandent de déterminer le nombre de morphismes dans le cas particulier n = 23 et m = 7
    Il y a une astuce pour ces deux nombres la en particulier ?
    Bonjour et meilleurs vœux !

    Dans ce cas, oui... parce que 23 et 7 sont méchamment premiers (entre eux, mais aussi dans l'absolu).
    Comme l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe, aucun de ces deux groupes n'a d'autres sous-groupes que {1} et lui-même.
    Comme l'image d'un sous-groupe est un sous-groupe, je ne vois guère que le morphisme trivial g 1H (pour tout g de G). À moins que (séquelles de réveillon aidant) quelque chose m'échappe...

    -- françois

    Grillé par homotopie !
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : Nombre de morphismes

    Ah j'avais oublié d'utiliser le fait que |Im f| divise 7 et que |Ker f| divise 23

    Mais je ne comprend néanmoins pas (l'examen s'annonce mal je sais )

    Ayant :

    |Im f| divise 7 et |Ker f| divise 23

    Je ne vois pas d'où provient l'égalité |Ker f|.|Im f| = 23

    merci

  8. #6
    homotopie

    Re : Nombre de morphismes

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message

    Je ne vois pas d'où provient l'égalité |Ker f|.|Im f| = 23
    On a pour tout morphisme f:G->G'
    on a l Im(f) l.l ker(f) l=lGl
    en effet, pour tout élément f(x) de l'image, il y a exactement l ker(f) l antécédents (l'ensemble de ceux-ci sont ker(f).x).
    On peut donc partitionner les éléments de g en l Im(f) l sous-parties de l ker(f) l éléments.

    Plus algébriquement (mais je ne suis pas sûr que tu l'es vu en cours) Im(f) est isomorphe à G/ker(f). D'où l Im(f) l=lGl/l ker(f) l et lGl=|Ker f|.|Im f|

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Nombre de morphismes

    Citation Envoyé par homotopie
    Plus algébriquement (mais je ne suis pas sûr que tu l'es vu en cours) Im(f) est isomorphe à G/ker(f). D'où l Im(f) l=lGl/l ker(f) l et lGl=|Ker f|.|Im f|
    Ah oui ! 1er Théorème d'isomorphismes, c'est horrible cette histoire, il me faudrait des mois pour les maîtriser ces théorèmes et on a vu ça en deux leçons même pas

    Ahhhhhhhhh, je vais me planter à cet examen

    merci beaucoup !

  11. #8
    fderwelt

    Re : Nombre de morphismes

    Bonjour,

    Je vais me faire tuer mais tant pis...

    Il y a beaucoup plus qu'une analogie entre l'ordre d'un groupe (fini) et la dimension d'un espace vectoriel. Ça peut parfois aider à se rappeler quelques résultats...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Nombre de morphismes

    Ca se voit. Si je prends par exemple les morphismes le professeur de géométrie nous l'a définie :

    1) Pour les graphes
    2) Pour les corps
    3) Pour les espaces vectoriels

    Le professeur d'alèbre nous l'a définie :

    4) Pour les groupes
    5) Pour les anneaux

    Alors qu'il aurait suffit de le définir pour une structure algébrique quelconque de manière générale.

    Quand je l'ai fait remarquer aux professeurs ils m'ont répondut qu'il n'y avait pas besoins de trop généraliser à notre niveau que c'était déja suffisament difficile pour des débutants (ils n'ont pas tort je dois dire )

  13. #10
    fderwelt

    Re : Nombre de morphismes

    Bonsoir,

    C'est exactement ça. Ça s'appelle la théorie des catégories et c'est vrai que c'est très abstrait (qualifiée d' "abstract nonsense" à sa création).

    Mais une fois qu'on a démontré des propriétés générales liées au seul fait d'être un morphisme (sous des hypothèses très générales) c'est bien agréable de pouvoir transposer sans effort d'un domaine à l'autre... même si ça ne dispense pas de réfléchir !

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Nombre de morphismes

    Très abstrait ...
    Et au cours d'algèbre on est obligé d'apprendre à manipuler dans tout les sens des choses comme les anneaux quotients et les théorèmes d'isomorphismes ...
    Ce n'est pas beaucoup mieux

    merci

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