Groupes et combinatoire

[Bleyblue]

Bonjour,

Je me rend compte qu'il y a pas mal de choses je ne maîtrise absolument pas dans mon cours d'algèbre ce qui me fait craindre le pire pour l'examen (ce qui me pousse à travailler le soir du jour de l'an ...)

Dans le groupe S₅₀ (l'ensemble des permutations des éléments {0,1,2,3,...,49}) je cherche à déterminer le nombre de tricyles (permutations du type (a,b,c) c'est à dire a est envoyé sur b, b sur c, c sur a et les autres éléments de l'ensemble sur eux même)

Ma première idée était de lister les 50! permutations et ... (mais non je plaisante )

Bon, en fait cela ne fait pas : vu que la permutation :

(0,1,2) n'est pas la même que (0,2,1)

mais est la même que (2,0,1) donc ce n'est pas

non plus

Quelqu'un a une idée ?

merci
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[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Je dirais comme ça C(50,3)/3 (désolé, j'ai vraiment du mal avec LaTeX). Ou C(50,3)/2, voir ci-après tout de suite.

Tu choisis tes trois éléments qui ne restent pas fixes, et tu dois leur fixer un cycle.
On a donc forcément (abc) -> (bca) ou (cab) ou (abc) mais ce dernier n'est pas à proprement parler un 3-cycle (d'où ma remarque d'avant). Les autres comportent forcément une transposition.

C'est à vérifier quand même.

Au fait, tu peux faire l'essai exhaustif avec 4 ou 5 éléments au lieu de 50...

-- françois

[invité576543]

Raisonnement simple: n(n-1)(n-2) est le nombre de listes de 3 éléments. Or une permutation apparaît 3 fois, une fois pour chaque élément pris comme premier de la liste. Résultat n(n-1)(n-2)/3.

Vérification pour n=3, on s'attend à 2 permutations (facile), et 3(3-1)(3-2)/3 = 2

Comme n(n-1)(n-2)/3 s'écrit n!/3(n-3)!, on peut l'écrire 2C(n, 3)

Cordialement,

[Bleyblue]

D'accord

Mais alors ça serait plutôt :


non ?

parceque avec on considère que (a,b,c) c'est pareil que (a,c,b) (l'ordre ne compte pas)

merci

EDIT :
Ah croisement avec mmy, ok ça rejoint ce que je dis !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ok je vois

Et alors pour un k cycle dans S_n ça serait :



merci !

[invité576543]

Ok je vois

Et alors pour un k cycle dans S_n ça serait :



merci !

Oui, mais perso je préfère écrire A(n, k)/k (ou )

Cdlt,

[Bleyblue]

Ah oui ok je connais aussi cette notation mais comme elle est peu utilisée je préfère utiliser les () uniquement

merci infiniment !