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représentation des formes linéaires



  1. #1
    alexlecobra

    représentation des formes linéaires


    ------

    bonjours,pouvez vous m'aider pour cet exo

    pour tout A appartenant Mn(R) on définit ΦA: Mn(R) ->R
    M->tr(AM)

    Montrer que pour toute A apparteanat à Mn(R)ΦA est une forme linéaire sur Mn(R)

    on définit maintenan l'application θ: Mn(R) ->L(Mn(R),R)
    A->ΦA
    Montrer que θ est une application linéaire,qu'elle est injective et que c'est un isomorphisme

    -----

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  3. #2
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    Salut!

    Qu'est-ce qui te bloque exactement?

    Pour la premiere question, il suffit juste de vérifier la définition de forme linéaire (en n'oubliant pas que Trace en est une...)

    Pour l'isomorphisme, pense aux dimensions!

  4. #3
    fderwelt

    Re : représentation des formes linéaires

    Bonjour,

    Tu dois savoir que pour X et Y dans Mn(R), et λ réel, tu as tr (X+Y) = tr(X) + tr(Y) ainsi que tr(λX) = λ.tr(X). À partir de là ça ne devrait pas poser de difficultés?

    -- françois

    EDIT: Grillé!
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  5. #4
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    il suffit de dire que tr(A+lambda B)=tr(A)+lambda tr(B) c'est ça??
    pour la deuxieme question pour montrr que l'application est linéaire on calcul teta(lambdaA+muB) et on montre que cela vaut lambda(teta(A))+mu(teta(A))??

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    il suffit de dire que tr(A+lambda B)=tr(A)+lambda tr(B) c'est ça??
    Presque... pour être totalement précis, il faut dire Tr(A(M+N))=tr(AM)+Tr(AN) mais cela découle de ce que tu viens de dire.

    pour la deuxieme question pour montrr que l'application est linéaire on calcul teta(lambdaA+muB) et on montre que cela vaut lambda(teta(A))+mu(teta(A))
    Tout à fait!!

  8. #6
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    tjs pour la premiere question, tr(A(M+lambdaN))=tr(A(tr(AM)+l ambda tr(AN)) peut on tt de suite conclure que c'est egal a tr(AM)+lambda Tr(AN)??

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  10. #7
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    euh... pas tout compris à ce que tu viens d'écrire. Des fautes de frappes??

    On a:
    par linéarité de Tr

  11. #8
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    cela montre que tr est linéaire mais pas que phy est une forme linéaire si??

  12. #9
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    si!

    Je viens exactement d'écrire pour tout M,N

    Au passage, où I est l'identité

    Bon courage pour la suite

  13. #10
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    pour la deuxieme question, on prend lambda et mu et deu matrice B et C et on calcul teta(lambda B+mu C)=teta(lambda phy B+mu phy C)=?

  14. #11
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    teta(lambda B+mu C)=lambda phy B+mu phy C plutot

  15. #12
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    oui effectivement merci bien!
    la suite demande de montrer que teta est injective et que c'est un isomorphisme.

    je pensais à montrer que ker(teta)=0 est ce la bonne méthode?ensuite pour montrer que c'est un isomorphisme il suffit de montrer que teta est bijective pour cela je pensais utiliser l'equivalence entre injective,surjective et bijective dans le cas où la dimension des ensembles est égales mais je ne suis pas convaincu qu'en pensez vous?

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  17. #13
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    je pensais à montrer que ker(teta)=0 est ce la bonne méthode?
    Yep c'est la bonne méthode. C'est (presque) toujours la bonne méthode quand on veut montrer qu'une application linéaire est injective.
    Par contre, attention: ici 0 désigne l'application nulle

    ensuite pour montrer que c'est un isomorphisme il suffit de montrer que teta est bijective pour cela je pensais utiliser l'equivalence entre injective,surjective et bijective dans le cas où la dimension des ensembles est égales mais je ne suis pas convaincu qu'en pensez vous?
    Parfait. Rien à ajouter

  18. #14
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    euh j'ai bien la méthode mais je n'arrive pas à l'appliquer...c bien beau de sentir les choses mais bon... pouvez vous encore une fois maider?

  19. #15
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    Tu veux motrer que ker={0} (n'oublies pas les accolades, c'est un ensemble)

    Soit A .
    Donc est la forme linéaire nulle à savoir

    A toi de choisir astucieusement M pour montrer que A est nulle

    En espérant t'avoir mis sur la voie

  20. #16
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    il semble y avoir un problème car dans la question suivante de mon enoncé on me demande de montrer qu'il existe une unique matrice A telle que quelquesoit la matrice M phy(M)=tr(AM)
    et on vient de montrer que tr(AM)=0....

  21. #17
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    ce que j'ai dit c'est que Tr(AM)=0 pour tout M seulement pour A appartenant à Ker(theta)
    Et dans ce cas, il faut montrer que A est nulle (puisque theta est injective)

  22. #18
    alexlecobra

    Red face Re : représentation des formes linéaires

    ah oui je vois mais en faite le problème est que je n'arrive pas à trouver la matrice M pour que tr(AM)=0

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  24. #19
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    En fait, Si A est dans le noyau, Tr(AM)=0 pour toutes les matrices M.
    Il faut choisir de bonnes matrices M pour obtenir des informations sur M. Par exemple des matrices M telles que AM n'ait qu'une seule composante non nulle...

  25. #20
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    oula je suis désolé mais je suis complétement perdu dans le raissonement je ne comprend pas comment on peux choisir ces matrices M pour que ker(teta) soit l'ensemble nul

  26. #21
    Eric78

    Re : représentation des formes linéaires

    Et si tu prenais pour M les Eij par hazard?
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  27. #22
    alexlecobra

    Re : représentation des formes linéaires

    je ne vois pas coment introduire cette matrice dans le raisonnement je suis dsl pouvez vous m'expliquer?

  28. #23
    Ksilver

    Re : représentation des formes linéaires

    Salut !

    et bien calcule tr(A*Eij), que tu trouve tu ?
    que déduis tu du fait, que pour tous i et pour tous j tr(A*Eij)= 0 ?




    l'autre methode (plus court, mais moins simple), et d'utiliser le fait que tr(A (transposé A))=0 => A=0, donc si tr(AM)=0 pour tous M, en particulier tr(A*transposé A) =0, donc A=0 !... mais il faut connaitre ce résultat ^^

  29. #24
    taladris

    Re : représentation des formes linéaires

    La méthode est classique mais si tu ne l'as jamais vu tu ne peux pas l'inventer

    On prend A dans ker et on veut montrer que A=0.
    Puisque A est dans le noyau, on Tr(AM)=0 pour TOUTE matrice M. A fortiori pour celles qui nous arrangent...

    On considère les matrices de la base de . On a pour tout i,j, Tr(A=0
    or Tr(A (formule que tu vérifiera facilement et si je ne me suis pas trompé)
    d'où A=0 et donc est injective

    Retiens bien ce genre d'idée, ça sert souvent!

    l'autre methode (plus court, mais moins simple), et d'utiliser le fait que tr(A (transposé A))=0 => A=0, donc si tr(AM)=0 pour tous M, en particulier tr(A*transposé A) =0, donc A=0 !... mais il faut connaitre ce résultat ^^
    Joli théorème Ksilver ! A retenir

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