représentation des formes linéaires

[invite1660b329]

bonjours,pouvez vous m'aider pour cet exo

pour tout A appartenant Mn(R) on définit ΦA: Mn(R) ->R
M->tr(AM)

Montrer que pour toute A apparteanat à Mn(R)ΦA est une forme linéaire sur Mn(R)

on définit maintenan l'application θ: Mn(R) ->L(Mn(R),R)
A->ΦA
Montrer que θ est une application linéaire,qu'elle est injective et que c'est un isomorphisme
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[invite14e03d2a]

Salut!

Qu'est-ce qui te bloque exactement?

Pour la premiere question, il suffit juste de vérifier la définition de forme linéaire (en n'oubliant pas que Trace en est une...)

Pour l'isomorphisme, pense aux dimensions!

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Tu dois savoir que pour X et Y dans M_n(R), et λ réel, tu as tr (X+Y) = tr(X) + tr(Y) ainsi que tr(λX) = λ.tr(X). À partir de là ça ne devrait pas poser de difficultés?

-- françois

EDIT: Grillé!

[invite1660b329]

il suffit de dire que tr(A+lambda B)=tr(A)+lambda tr(B) c'est ça??
pour la deuxieme question pour montrr que l'application est linéaire on calcul teta(lambdaA+muB) et on montre que cela vaut lambda(teta(A))+mu(teta(A))??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

il suffit de dire que tr(A+lambda B)=tr(A)+lambda tr(B) c'est ça??

Presque... pour être totalement précis, il faut dire Tr(A(M+N))=tr(AM)+Tr(AN) mais cela découle de ce que tu viens de dire.

pour la deuxieme question pour montrr que l'application est linéaire on calcul teta(lambdaA+muB) et on montre que cela vaut lambda(teta(A))+mu(teta(A))

Tout à fait!!

[invite1660b329]

tjs pour la premiere question, tr(A(M+lambdaN))=tr(A(tr(AM)+l ambda tr(AN)) peut on tt de suite conclure que c'est egal a tr(AM)+lambda Tr(AN)??

[invite14e03d2a]

euh... pas tout compris à ce que tu viens d'écrire. Des fautes de frappes??

On a:
par linéarité de Tr

[invite1660b329]

cela montre que tr est linéaire mais pas que phy est une forme linéaire si??

[invite14e03d2a]

si!

Je viens exactement d'écrire pour tout M,N

Au passage, où I est l'identité

Bon courage pour la suite

[invite1660b329]

pour la deuxieme question, on prend lambda et mu et deu matrice B et C et on calcul teta(lambda B+mu C)=teta(lambda phy B+mu phy C)=?

[invite14e03d2a]

teta(lambda B+mu C)=lambda phy B+mu phy C plutot

[invite1660b329]

oui effectivement merci bien!
la suite demande de montrer que teta est injective et que c'est un isomorphisme.

je pensais à montrer que ker(teta)=0 est ce la bonne méthode?ensuite pour montrer que c'est un isomorphisme il suffit de montrer que teta est bijective pour cela je pensais utiliser l'equivalence entre injective,surjective et bijective dans le cas où la dimension des ensembles est égales mais je ne suis pas convaincu qu'en pensez vous?

[invite14e03d2a]

je pensais à montrer que ker(teta)=0 est ce la bonne méthode?

Yep c'est la bonne méthode. C'est (presque) toujours la bonne méthode quand on veut montrer qu'une application linéaire est injective.
Par contre, attention: ici 0 désigne l'application nulle

ensuite pour montrer que c'est un isomorphisme il suffit de montrer que teta est bijective pour cela je pensais utiliser l'equivalence entre injective,surjective et bijective dans le cas où la dimension des ensembles est égales mais je ne suis pas convaincu qu'en pensez vous?

Parfait. Rien à ajouter

[invite1660b329]

euh j'ai bien la méthode mais je n'arrive pas à l'appliquer...c bien beau de sentir les choses mais bon... pouvez vous encore une fois maider?

[invite14e03d2a]

Tu veux motrer que ker={0} (n'oublies pas les accolades, c'est un ensemble)

Soit A .
Donc est la forme linéaire nulle à savoir

A toi de choisir astucieusement M pour montrer que A est nulle

En espérant t'avoir mis sur la voie

[invite1660b329]

il semble y avoir un problème car dans la question suivante de mon enoncé on me demande de montrer qu'il existe une unique matrice A telle que quelquesoit la matrice M phy(M)=tr(AM)
et on vient de montrer que tr(AM)=0....

[invite14e03d2a]

ce que j'ai dit c'est que Tr(AM)=0 pour tout M seulement pour A appartenant à Ker(theta)
Et dans ce cas, il faut montrer que A est nulle (puisque theta est injective)

[invite1660b329]

ah oui je vois mais en faite le problème est que je n'arrive pas à trouver la matrice M pour que tr(AM)=0

[invite14e03d2a]

En fait, Si A est dans le noyau, Tr(AM)=0 pour toutes les matrices M.
Il faut choisir de bonnes matrices M pour obtenir des informations sur M. Par exemple des matrices M telles que AM n'ait qu'une seule composante non nulle...

[invite1660b329]

oula je suis désolé mais je suis complétement perdu dans le raissonement je ne comprend pas comment on peux choisir ces matrices M pour que ker(teta) soit l'ensemble nul

[invite3f53d719]

Et si tu prenais pour M les Eij par hazard?

[invite1660b329]

je ne vois pas coment introduire cette matrice dans le raisonnement je suis dsl pouvez vous m'expliquer?

[invite4ef352d8]

Salut !

et bien calcule tr(A*Eij), que tu trouve tu ?
que déduis tu du fait, que pour tous i et pour tous j tr(A*Eij)= 0 ?




l'autre methode (plus court, mais moins simple), et d'utiliser le fait que tr(A (transposé A))=0 => A=0, donc si tr(AM)=0 pour tous M, en particulier tr(A*transposé A) =0, donc A=0 !... mais il faut connaitre ce résultat ^^

[invite14e03d2a]

La méthode est classique mais si tu ne l'as jamais vu tu ne peux pas l'inventer

On prend A dans ker et on veut montrer que A=0.
Puisque A est dans le noyau, on Tr(AM)=0 pour TOUTE matrice M. A fortiori pour celles qui nous arrangent...

On considère les matrices de la base de . On a pour tout i,j, Tr(A=0
or Tr(A (formule que tu vérifiera facilement et si je ne me suis pas trompé)
d'où A=0 et donc est injective

Retiens bien ce genre d'idée, ça sert souvent!

l'autre methode (plus court, mais moins simple), et d'utiliser le fait que tr(A (transposé A))=0 => A=0, donc si tr(AM)=0 pour tous M, en particulier tr(A*transposé A) =0, donc A=0 !... mais il faut connaitre ce résultat ^^

Joli théorème Ksilver ! A retenir