Formes linéaires

[invitea87a1dd7]

Salut à tous !
Dans un exo, on se propose de déterminer l'ensemble des formes linéaires sur l'ensemble des matrices (complexes) d'ordre n (n étant supérieur ou égal à 2) telles que :
(AB)=(BA)

Bon alors, j'imagine qu'il faut parler de dual, mais je ne vois pas comment déterminer toutes les formes linéaires.
Déjà, le rang et la trace y appartiennent...
Si quelqu'un avait une piste...

Merci à vous !
-----

[erff]

Attention le rang n'est pas une forme linéaire (car pas linéaire).
J'essaierais de tester avec des matrices A et B du style avec des zéros partout sauf un 1 à un seul endroit de sorte a ce que AB<>0 et BA=0...
Je pense qu'on devrait arriver a qque chose du style phi(Ei,j)=0 si j<>i et phi(Ei,i) est le meme quel que soit i...du coup phi est proportionnelle à la trace...Enfin c'est intuitif, je peux me planter ca sera pas la 1ere fois.
Bon courage.

[invite6b1e2c2e]

Salut à tous !
Dans un exo, on se propose de déterminer l'ensemble des formes linéaires sur l'ensemble des matrices (complexes) d'ordre n (n étant supérieur ou égal à 2) telles que :
(AB)=(BA)

Bon alors, j'imagine qu'il faut parler de dual, mais je ne vois pas comment déterminer toutes les formes linéaires.
Déjà, le rang et la trace y appartiennent...
Si quelqu'un avait une piste...

Merci à vous !

Salut,

Je te conseille de regarder ce que vaut sur les matrices élémentaires .

Pour cela, il faut essayer de regarder ce que valent les produits
et essayer de bidouiller les produits un coup dans un sens, un coup dans l'autre, comme tu t'en doutes.

Je ne suis pas sûr que le rang satisfasse les hypothèses: Ce n'est pas une forme linéaire, non ?

__
rvz

[invitea87a1dd7]

Oui désolé, pour le rang, c'est n'importe quoi...
Je vais essayer avec les matrices élémentaires

@++

[A voir en vidéo sur Futura]

[memphisto]

l'énnoncé n'est pas clair; la propriété doit elle etre vérifiée quelles que soient les matrices A et B ?

[invitea87a1dd7]

Bon j'ai fait comme vous avez décrit.

On choisit j=k, on en déduit que pour i différent de l on a :


Et si i est égal à l (toujours avec j=k) on en déduit que :
pour tout i et pour tout k, on en déduit que c'est constant.

Bon maintenant, j'aimerais savoir pourquoi quand on a ça, on peut dire que c'est proportionnelle à la trace. Il n'y a pas une histoire de dimension 1 derrière tout ça ?

Merci pour vos réponses


ps : memphisto >> oui j'ai oublié le devant A,B

[invite6b1e2c2e]

Re,

La forme est linéaire donc son image sur une base suffit à la définir. Et comme les matrices élémentaires forment une base, tu as juste à vérifier qu'on peut écrire tout ça sous la forme k* trace.

__
rvz

[invitea87a1dd7]

Ok, donc la constante k est :
par exemple

[erff]

Voilà !
Par contre n'oublie pas la réciproque (qui ici est triviale) pr vérifier que les application du style k*tr vérifient bien la condition demandée dans l'énoncé.

[invitea87a1dd7]

Ok merci

@++

[GuYem]

Classique parmi les classiques cet exercice.

Il me semblait qu'on pouvait le faire sans passer par les matrices élémentaires, non ?

[invitea87a1dd7]

GuYem >> j'ai demandé à mon prof de maths. Il y avait effectivement une autre solution. Mais on utilise quand même les matrices élémentaires.
Avec des matrices élémentaires, on montre que :


On utilise ensuite le fait que deux formes linéaires ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles

[GuYem]

Ok, merci de cette précision.