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Formes linéaires



  1. #1
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Question Formes linéaires

    Salut à tous !
    Dans un exo, on se propose de déterminer l'ensemble des formes linéaires sur l'ensemble des matrices (complexes) d'ordre n (n étant supérieur ou égal à 2) telles que :
    (AB)=(BA)

    Bon alors, j'imagine qu'il faut parler de dual, mais je ne vois pas comment déterminer toutes les formes linéaires.
    Déjà, le rang et la trace y appartiennent...
    Si quelqu'un avait une piste...

    Merci à vous !

    -----


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  3. #2
    erff

    Re : Formes linéaires

    Attention le rang n'est pas une forme linéaire (car pas linéaire).
    J'essaierais de tester avec des matrices A et B du style avec des zéros partout sauf un 1 à un seul endroit de sorte a ce que AB<>0 et BA=0...
    Je pense qu'on devrait arriver a qque chose du style phi(Ei,j)=0 si j<>i et phi(Ei,i) est le meme quel que soit i...du coup phi est proportionnelle à la trace...Enfin c'est intuitif, je peux me planter ca sera pas la 1ere fois.
    Bon courage.

  4. #3
    rvz

    Re : Formes linéaires

    Citation Envoyé par Ayrawhsia Aathsir Tia Voir le message
    Salut à tous !
    Dans un exo, on se propose de déterminer l'ensemble des formes linéaires sur l'ensemble des matrices (complexes) d'ordre n (n étant supérieur ou égal à 2) telles que :
    (AB)=(BA)

    Bon alors, j'imagine qu'il faut parler de dual, mais je ne vois pas comment déterminer toutes les formes linéaires.
    Déjà, le rang et la trace y appartiennent...
    Si quelqu'un avait une piste...

    Merci à vous !
    Salut,

    Je te conseille de regarder ce que vaut sur les matrices élémentaires .

    Pour cela, il faut essayer de regarder ce que valent les produits
    et essayer de bidouiller les produits un coup dans un sens, un coup dans l'autre, comme tu t'en doutes.

    Je ne suis pas sûr que le rang satisfasse les hypothèses: Ce n'est pas une forme linéaire, non ?

    __
    rvz

  5. #4
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Formes linéaires

    Oui désolé, pour le rang, c'est n'importe quoi...
    Je vais essayer avec les matrices élémentaires

    @++

  6. #5
    memphisto

    Re : Formes linéaires

    l'énnoncé n'est pas clair; la propriété doit elle etre vérifiée quelles que soient les matrices A et B ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Arrow Re : Formes linéaires

    Bon j'ai fait comme vous avez décrit.

    On choisit j=k, on en déduit que pour i différent de l on a :


    Et si i est égal à l (toujours avec j=k) on en déduit que :
    pour tout i et pour tout k, on en déduit que c'est constant.

    Bon maintenant, j'aimerais savoir pourquoi quand on a ça, on peut dire que c'est proportionnelle à la trace. Il n'y a pas une histoire de dimension 1 derrière tout ça ?

    Merci pour vos réponses


    ps : memphisto >> oui j'ai oublié le devant A,B

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  10. #7
    rvz

    Re : Formes linéaires

    Re,

    La forme est linéaire donc son image sur une base suffit à la définir. Et comme les matrices élémentaires forment une base, tu as juste à vérifier qu'on peut écrire tout ça sous la forme k* trace.

    __
    rvz

  11. #8
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Thumbs up Re : Formes linéaires

    Ok, donc la constante k est :
    par exemple

  12. #9
    erff

    Re : Formes linéaires

    Voilà !
    Par contre n'oublie pas la réciproque (qui ici est triviale) pr vérifier que les application du style k*tr vérifient bien la condition demandée dans l'énoncé.

  13. #10
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Formes linéaires

    Ok merci

    @++

  14. #11
    GuYem

    Re : Formes linéaires

    Classique parmi les classiques cet exercice.

    Il me semblait qu'on pouvait le faire sans passer par les matrices élémentaires, non ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  15. #12
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Formes linéaires

    GuYem >> j'ai demandé à mon prof de maths. Il y avait effectivement une autre solution. Mais on utilise quand même les matrices élémentaires.
    Avec des matrices élémentaires, on montre que :


    On utilise ensuite le fait que deux formes linéaires ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles

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  17. #13
    GuYem

    Re : Formes linéaires

    Ok, merci de cette précision.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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