Bonjour, je nage un peu sur cette notion:
on me donne une famille de 4 formes linéaires de R^3 :
les Ai, pour 1<i<4 tels que :
pour tout (x,y,z), Ai(x,y,z)=ai*x + bi*y + ci*z
et on me demande le rang de cette famille.
J'ai essayé d'ecrire la matrice de cette famille, mais je confonds un peu tout. Pouvez vous m'eclairer ?
Merci.
(C'est tiré de Centrale MP II 2006, question IVA2)
en fait il faut que tu consideres l'espace vectoriel des formes linéaires sur R^3; c'est un ev dont une base est :
(x,y,z)->x
(x,y,z)->y ( 3 formes linéaires)
(x,y,z)->z
ensuite il faut que tu écrives la matrice des 4 formes linéaires que tu consideres dans la base ci dessus, et le rang de ta famille sera le rang de cette matrice.
En espérant que cela t'auras aidé...
Salut,
et donc la matrice s'écrit simplement
Cordialement.
Il y a trois vecteur dans la base canonique, et 4vecteurs dans la famille. Cette matrice ne devrait-elle pas etre de format 3,4 ?Envoyé par martini_bird
Salut,
et donc la matrice s'écrit simplement
Cordialement.
Tu peux ecrire ta matrice dans le sens que tu veux. Ici, il ne s'agit pas d'écrire la matrice d'une application linéaire (enfin, quelque part, si ...), mais de concaténer des vecteurs (qui sont tes formes linéaires) pour trouver le rang de l'ev qu'ils engendrent.
De toute manière, que tu écrives ta matrice dans ce sens là ou dans l'autre, ça ne change pas le rang.
Mais alors je ne comprends pas ce que signifie le "rang" dans ce cas. Si tu me dis que le sens de la matrice n'importe pas, ca voudrait dire qu'il peut valoir 4 ?
Salut,
le rang c'est la dimension de l'image (je ne t'apprends rien). Donc qu'il s'agisse d'une application linéaireou
Vu autrement, le rang est la dimension de la plus grande sous-matrice inversible : il faudrait donc pousser sur les bords pour faire rentrer une matrice 4x4.
Cordialement.
