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Rg d'une famille de formes linéaires



  1. #1
    Gpadide

    Rg d'une famille de formes linéaires

    Bonjour, je nage un peu sur cette notion:
    on me donne une famille de 4 formes linéaires de R^3 :
    les Ai, pour 1<i<4 tels que :
    pour tout (x,y,z), Ai(x,y,z)=ai*x + bi*y + ci*z
    et on me demande le rang de cette famille.
    J'ai essayé d'ecrire la matrice de cette famille, mais je confonds un peu tout. Pouvez vous m'eclairer ?
    Merci.
    (C'est tiré de Centrale MP II 2006, question IVA2)

    -----


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  3. #2
    dajety

    Re : Rg d'une famille de formes linéaires

    en fait il faut que tu consideres l'espace vectoriel des formes linéaires sur R^3; c'est un ev dont une base est :
    (x,y,z)->x
    (x,y,z)->y ( 3 formes linéaires)
    (x,y,z)->z
    ensuite il faut que tu écrives la matrice des 4 formes linéaires que tu consideres dans la base ci dessus, et le rang de ta famille sera le rang de cette matrice.


    En espérant que cela t'auras aidé...

  4. #3
    martini_bird

    Re : Rg d'une famille de formes linéaires

    Salut,

    et donc la matrice s'écrit simplement


    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #4
    Gpadide

    Re : Rg d'une famille de formes linéaires

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    et donc la matrice s'écrit simplement


    Cordialement.
    Il y a trois vecteur dans la base canonique, et 4vecteurs dans la famille. Cette matrice ne devrait-elle pas etre de format 3,4 ?

  6. #5
    GuYem

    Re : Rg d'une famille de formes linéaires

    Tu peux ecrire ta matrice dans le sens que tu veux. Ici, il ne s'agit pas d'écrire la matrice d'une application linéaire (enfin, quelque part, si ...), mais de concaténer des vecteurs (qui sont tes formes linéaires) pour trouver le rang de l'ev qu'ils engendrent.

    De toute manière, que tu écrives ta matrice dans ce sens là ou dans l'autre, ça ne change pas le rang.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gpadide

    Re : Rg d'une famille de formes linéaires

    Mais alors je ne comprends pas ce que signifie le "rang" dans ce cas. Si tu me dis que le sens de la matrice n'importe pas, ca voudrait dire qu'il peut valoir 4 ?

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  10. #7
    martini_bird

    Re : Rg d'une famille de formes linéaires

    Salut,

    le rang c'est la dimension de l'image (je ne t'apprends rien). Donc qu'il s'agisse d'une application linéaire ou , l'image ne peut être de dimension >3 !

    Vu autrement, le rang est la dimension de la plus grande sous-matrice inversible : il faudrait donc pousser sur les bords pour faire rentrer une matrice 4x4 .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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