Espace préhilbertien complexe

[inviteba67e777]

Bonjour,

Soit E un Cev
On définit le produit scalaire hermitien E x E -> C
Il est définie, positif , sesquiliniaire et a la symétrie hermitienne.

Question : un complexe positif, y a t il un problème dans ma définition ou y aurait t il un ordre numérique dans C !!!? (oublions l'ordre alphanumérique)

Je suis sûr qu'il n'y a pas d'ordre numérique chez les complexes.
Et je ne pense pas que la définition soit mauvaise, j'ai l'ai copié dans mon cours, et il y a la même dans les polycopiés qu'on récupère.

Où est le bug ?
-----

[GuYem]

Salut, il n'y a pas de bug.

Ici, "positif" ca veut dire que, si tu fais le produit scalaire d'un vecteur x de E par lui-même, tu trouves un nombre réel positif. Après tout, les nombres réels positifs font partie de C non ?

[martini_bird]

Salut,

pour compléter la réponse de Guyem, c'est la forme semi-linéaire (ton produit hermitien) qui est positive, et pas un nombre complexe.

Je suis sûr qu'il n'y a pas d'ordre numérique chez les complexes.

Il n'existe pas d'ordre qui prolonge celui des réels. Il en existe d'autres bien sûr.

Cordialement.

[inviteba67e777]

On définit le produit scalaire hermitien E x E -> C

Alors pourquoi on met C et pas R ... ce serait plus simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Alors pourquoi on met C et pas R ... ce serait plus simple.

lol Parce qu'en général le résultat est un nombre complexe.
Mais comme la forme vérifie la symétrie hermitienne , le nombre (x, x) est toujours réel.

Cordialement.

[inviteba67e777]

lol Parce qu'en général le résultat est un nombre complexe.
Mais comme la forme vérifie la symétrie hermitienne , le nombre (x, x) est toujours réel.

Cordialement.

Je comprend que si un complexe est égale à son conjugué alors il est réél.
Comme le produit scalaire vérifie toujours par définition cette proprièté, alors le résultat est toujours réél et on aurait toujours E x E -> R

S'il y a un résultat plus général je l'ignore. Est ce le cas ?

[martini_bird]

Le plus simple est de considérer un exemple : l'application est une forme hermitienne définie positive sur .

Mais en général, .

Cordialement.

[inviteba67e777]

Désolé si je suis un peu insistant.
Je suis d'accord que l'ensemble de départ est complexe, mais la proprièté de symétrie hermitienne donne un ensemble d'arrivé réél. Est ce faux ? (si oui, j'ai rien compris)
Si non, dans E x E -> C
(x,y) |-> xY Y=y barre
(x,y) E C² : ensemble de départ
Si cette forme est bien positive, xY E R puisqu'il n'y a d'ordre numérique que dans R : ensemble d'arrivé et que la proprièté de symétrie hermitienne est vérifiée. Alors pourquoi ne pouvons nous pas mettre E x E -> R ?

(depuis le début mon interrogation porte sur l'ensemble d'arrivé)

[martini_bird]

Je reprends mon message avec une autre notation pour le produit scalaire hermitien : l'application est une forme hermitienne définie positive sur . Mais en général, .

Par exemple

Cordialement.

[inviteba67e777]

Ah excuse moi je viens de comprendre mon erreur !
Mais par contre, on est bien d'accord que l'ensemble d'arrivé est C, or on dit que le produit scalire est positif.

Quels sont les critères pour déterminer si un complexe est positif ou pas ? Je croyais qu'on ne pouvait pas donner de signe à ce cet enseble.

[invite8ef897e4]

Bonjour

Il n'existe pas d'ordre qui prolonge celui des réels. Il en existe d'autres bien sûr.

je viens de faire un petit bug dans mon cerveau

Si je prends la relation sur telle que :

c'est une relation d'ordre sur , non ?

Mon bug c'est plutot : pourquoi ne peut-on pas dire qu'elle prolonge celle definie sur ? Je n'arrive pas a me souvenir, ca fait longtemps.

Merci d'avance pour votre aide

[invite8ef897e4]

En me relisant, je me dis un truc... Ce n'est pas une relation d'ordre Pardon pour le bug de mon cerveau (et le spam) !

[martini_bird]

Salut,

Pardon pour le bug de mon cerveau

C'est singulier, je m'étais fait le même "bug" en me relisant avant de poster.

Quels sont les critères pour déterminer si un complexe est positif ou pas ? Je croyais qu'on ne pouvait pas donner de signe à ce cet enseble.

Pour regarder si la forme est positive ou non, on étudie précisément le signe de < x, x > qui pour le coup est bien un nombre réel : si pour tout x, <x, x> est positif alors la forme est dite positive par définition.

J'espère que ça t'éclairera un peu.

Cordialement.

[Gwyddon]

Salut,

On insistera jamais assez : lorsque l'on parle d'une forme bilinéaire positive, on ne s'intéresse qu'à un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivé de la forme : l'ensemble .

On ne parle pas bien sûr de complexe positif