Topologie : espace separable et espace separé

[invitef36aef9d]

une question de topologie :
je considère des espaces topologiques les plus généraux possibles (pas de métrique, rien...)

on dit qu'un espace topologique E est separable s'il possède une partie A dense au plus dénombrable.

on dit qu'un espace topologique E est separé si quelquesoit x et y differents appartenant à E, il existe deux ouverts U et V disjoints tels que x appartient à U et y appartient à V.

ma question est la suivante :
est-ce que l'une de ces propriétés entraine l'autre. càd, séparé => séparable ou séparable => séparé.
si oui, je serais interessé de connaitre la démo.
sinon, j'aimerais des exemples d'espaces séparés mais pas séparables ainsi que d'espaces séparables mais non séparés.

Par avance merci de votre aide.
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[inviteae1ed006]

Non,
1) par exemple si R est munit de ma topologie grossière et bien il est séparable mais pas séparé...

2) Dans le sens contraire non plus : si on considère l'ensemble des fonctions continues et intégrable en valeur absolues sur [0,1] ( est alors une norme) je pense qu'il est séparé mais pas séparable...

[invite4ef352d8]

il me semble que cette espace est bien séparable...

l'ensemble des polynome à coeficient rationelle, c'est dénombrable non ? et c'est dense dans l'ensemble des fonction continu... (aussi bien pour la norme infinie que pour la norme 1... )

enfin je me trompe peut-etre...

[invite4ef352d8]

ceci dit, en prenant l'ensemble des fonction borné de [0,1] dans R munie de la norme infinie, c'est séparé (car métrique)

et on peut montrer (enfin si je ne me trompe pas) qu'il n'y a pas de parti dénombrable dense dedans...


sinon pour la question de depart... il y a peut-etre quand meme un lien sous certaine hypothèse non?... en fait j'en sais absoluement rien, c'est la premier fois que j'entend le terme "séparable" en fait ... désolé^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef36aef9d]

et si l'on considère la famille de fonction f_p,q(x)=p/(1+(x-q)²)
où p est un rationnel quelconque et q un rationnel tel que 0<=q<=1.
cette famille ne serait pas une partie dense et denombrable des fonctions bornées sur [0,1] ?

[inviteae1ed006]

il me semble que cette espace est bien séparable...

l'ensemble des polynome à coeficient rationelle, c'est dénombrable non ? et c'est dense dans l'ensemble des fonction continu... (aussi bien pour la norme infinie que pour la norme 1... )

enfin je me trompe peut-etre...

Non je pense que c'est moi qui me suis trompé....
par contre , c'est sur, il est pas séparable !

[invite4ef352d8]

et si l'on considère la famille de fonction f_p,q(x)=p/(1+(x-q)²)
où p est un rationnel quelconque et q un rationnel tel que 0<=q<=1.
cette famille ne serait pas une partie dense et denombrable des fonctions bornées sur [0,1] ?

ca n'etonerait : c'est une famille de fonction continu, donc pour la norme infinie la limite est neccesairement continu.

non la démonstration que l'ensemble des fonction borné sur [0,1] munie de la nomre infinie n'est pas séparable est tres simple, tu considere une eventuellement parti dense. et tu applique la densité pour epsilon =1/3 a la fonction identiquement nul suaf en un point a de [0,1] ou elle vaut 1.

pour chaque valeur de a tu obtiens une fonction differente, donc ta partie dense contiens un ensemble non dénombrable de fonction !

[invite35452583]

Bonjour,
un exemple très simple d'espace séparé non séparable est IR muni de la topologie discrète. Le seul sous ensemble dense est R lui même qui n'est pas dénombrable.

[invite986312212]

... et pour le séparable non séparé un ensemble dénombrable et la topologie grossière.

au fait: les Français parlent de "séparé" mais ailleurs on distingue plusieurs axiomes de séparation (au moins 5 il me semble), et autre particularité française: les espaces compacts sont supposés séparés mais ce n'est pas le cas ailleurs (ou du moins pas toujours)

[invite35452583]

au fait: les Français parlent de "séparé" mais ailleurs on distingue plusieurs axiomes de séparation (au moins 5 il me semble)

Oui, 5+1 le 6ème étant équivalent au 5ème
0) a,b=>il existe un ouvert contenant un seul des deux points
1) a,b=>il existe un ouvert contenant a mais pas b (et donc un qui contient b mais pas a)
2) a,b=>il existe deux ouverts comme ci-avant mais en plus d'intersection vide (le "séparé" français, le plus usité comme axiome de séparation, espace de Haussdorff pour tout le monde, pas sûr du nombre de f)
2)=>on peut séparer point et compact
a point, B compact il existe U, V ouverts U contient a, V contient B, U et V intersection vide
3) on peut séparer point et fermé quelconque
=>on peut séparer deux compacts (je crois que le 2) seul est insuffisant)
4) on peut séparer deux fermés quelconques (espace normal)
5) soit F et G deux fermés de l'espace E, il existe une application continue f : E->[0;1] tel que f(F)=0 f(G)=1 (on passe de manière continue de l'un à l'autre)
4) et 5) sont équivalents.
Un métrique vérifie jusque 2).

Et pour finir, deux séparables non séparés moins triviaux :
IR dont on a "doublé" le 0 : Oa et Ob. Voisinage ouvert de Ox : ouvert classique de IR contenat 0 dont a remplacé le O par Ox ou par les deux Oa et Ob. Cet espace vérifie l'axiome de séparation 1) mais pas le 2) à cause de ce doublon.
Si pour les ouverts de Oa on impose en plus de prendre Ob alors l'espace ne vérifie plus que l'axiome 0.

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Une petite question de vocabulaire au passage. Je commence à douter... Dans les bouquins en anglais je vois souvent "the space is Hausdorff", que je traduis (machinalement) par "séparé".
Mais quels sont les termes pour "séparé", "séparable", et toutes les autres notions plus ou moins équivalentes? Est-ce que l'anglais est plus précis sur ce point?

-- françois

[invite35452583]

Bonjour,

Une petite question de vocabulaire au passage. Je commence à douter... Dans les bouquins en anglais je vois souvent "the space is Hausdorff", que je traduis (machinalement) par "séparé".
Mais quels sont les termes pour "séparé", "séparable", et toutes les autres notions plus ou moins équivalentes? Est-ce que l'anglais est plus précis sur ce point?

-- françois

Salut,
pour "Hausdorff space", la traduction machinale est la bonne si tu entends "séparé" dans le sens 2) ci-dessus.
Les qualificatifs pour 0), 1) et 3) je n'en connais pas d'autres que "espace vérifiant l'axiome de séparation n°x"
Pour les espaces séparables, je ne suis plus sûr du terme anglais mais c'est toujours "il existe une partie dénombrable dense". Leur utilité est essentiellement pour des choses du type : existence de bases hilbertiennes. Je suis moins sûr de moi pour cette propriété, c'est de la topologie pour analystes ça

[invitef36aef9d]

Bonjour,
un exemple très simple d'espace séparé non séparable est IR muni de la topologie discrète. Le seul sous ensemble dense est R lui même qui n'est pas dénombrable.

sauf erreur de ma part, mais Q est une partie dese de R qui est dénombrable.

[invite35452583]

sauf erreur de ma part, mais Q est une partie dese de R qui est dénombrable.

non Q n'est pas une partie dense dans IR muni de cette topologie.
Ici, la topologie n'est pas l'usuelle, les ouverts sont tous les sous-ensembles sans exception. Tous les sous-ensembles sont donc aussi des fermés. L'adhérence d'une sous-partie A est donc A elle-même. si et seulement si A=IR.

[invitef36aef9d]

tout à fait raison !
au temps pour moi

alors question à deux balles : quelle est la raison profonde qui fait que la topologie sur R engendrée par la norme usuelle n'engendre pas la topologie discrete ?

[invite35452583]

tout à fait raison !
au temps pour moi

alors question à deux balles : quelle est la raison profonde qui fait que la topologie sur R engendrée par la norme usuelle n'engendre pas la topologie discrete ?

reprenons la construction de IR topologique usuel. IR est le complété de Q pour la topologie de l'ordre (base d'ouverts : ]a,b[). La topo usuelle rend Q localement précompact (on peut recouvrir une partie bornée par un nombre fini d' ouverts de même taille). La précompacité se conserve par complétude topologique et précompact+complet=>compact, IR est localement compact.
La topo discrète est une topo métrisable qui est "très loin" d'une propriété telle que localement compact (il y a beaucoup trop d'ouverts pour cela!).
On peut ausi remarquer que tout ouvert de R contient une quantité continue de points.

[invite22a185a6]

Bonjour,
une petite question sur ce qui a été dit:

La topo discrète est une topo métrisable

Est-ce la topo discrète sur R qui vérifie ca ou la topo discrète sur X quelconque (ou une situation intermédiaire)?
Comment est construite la métrique associée?
Merci et aurevoir

[invite4ef352d8]

Salut.

tu utilise la distance discrete justement :

d(x,y) = 0 si x=y et 1 sinon.

[invite9c9b9968]

D'ailleurs topologie discrète et métrique discrète, c'est pareil (ce que prouve KSilver au passage)

[invite22a185a6]

Merci beaucoup pour vos réponses (la prochaine fois je réfléchirai plus avant d embêter tt le monde).
Bonsoir et encore merci

[invite35452583]

D'ailleurs topologie discrète et métrique discrète, c'est pareil (ce que prouve KSilver au passage)

Désolé mais ce n'est pas tout à fait exact :
(N*,d) où d(m,n)=abs(1/n-1/m) n'est pas complet
mais la topo sous-jacente est bien la discrète.
Les métriques compatibles avec la topo métrique n'ont pas toutes les mêmes propriétés.
métrique discrète=>topo discrète (vraie)
topo discrète métrique=>métrique discrète (ne serait-ce qu'équivalente) (faux)

[invite9c9b9968]

Là je ne suis plus. Pourtant KSilver a bien exhibé une métrique sur une topo discrète non ?

EDIT : non non, je viens de comprendre en fait. Tu peux très bien avoir un espace à topo discrète sans que la métrique associée soit la métrique discrète. J'ai bon là ?

[invite35452583]

Tu peux très bien avoir un espace à topo discrète sans que la métrique associée soit la métrique discrète. J'ai bon là ?

Oui (ni même équivalente)

[invite22a185a6]

Bonjour,
cela revient a remarquer que la complétude n'est pas une notion topologique au sens ou deux topologies équivalentes ne sont pas necessairement simultanément complètes ou non ce qui contredit généralement les affirmations du type métrique <=>topologie (ds le cas général),
Aurevoir

[invite9c9b9968]

Effectivemement j'avais "oublié" ce détail pourtant essentiel, merci de me l'avoir rappelé

[invite69d38f86]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait il m'indiquer pourquoi en mécanique quantique l'espace de Hibert que l'on utilise pour représanter les états physiques doit être séparable ?

[invite69d38f86]

Dans ce lien: Hilbert_space#Separable_spaces
on peut lire
A Hilbert space is separable if and only if it admits a countable orthonormal basis. All infinite-dimensional separable Hilbert spaces are isomorphic to
ce théorème (sur l'isomorphisme) porte t il un nom?