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tribu borélienne sur R



  1. #1
    bleak

    tribu borélienne sur R


    ------

    Bonjour, on défini une tribu borélienne sur R comme la plus petite σ-algèbre sur R contenant tous les ensembles ouverts.

    Le problème c'est que cette tribu est inclue strictement dans l'ensemble des partitions de R. Ce qui veut dire qu'il y a des partitions de R qui ne peuvent pas s'écrire comme des unions d'ouverts et de fermés...?

    Quelqu'un aurait-il un exemple d'une telle partition de R?

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : tribu borélienne sur R

    Citation Envoyé par bleak Voir le message
    Le problème c'est que cette tribu est inclue strictement dans l'ensemble des partitions de R.
    Une tribu n'est pas une partition.

    Citation Envoyé par bleak Voir le message
    Ce qui veut dire qu'il y a des partitions de R qui ne peuvent pas s'écrire comme des unions d'ouverts et de fermés...?
    Quelqu'un aurait-il un exemple d'une telle partition de R?
    Pour la topologie usuelle :
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : tribu borélienne sur R

    Citation Envoyé par bleak Voir le message
    Le problème c'est que cette tribu est inclue strictement dans l'ensemble des partitions de R. Ce qui veut dire qu'il y a des partitions de R qui ne peuvent pas s'écrire comme des unions d'ouverts et de fermés...?
    est-ce que tu veux dire "l'ensemble des parties de R" ? Toute partie de R est union de fermés (pour la topologie usuelle) puisque tout singleton est fermé (et l'ensemble vide est l'union d'une famille vide de fermés). Mais une tribu est seulement tenue de contenir les unions de familles dénombrables de ses membres.

  4. #4
    Garnet

    Re : tribu borélienne sur R

    Une tribu n'est pas une partition.
    Exact, mais je crois qu'il voulait dire "ensemble des parties".

    Il y a des parties de qui ne sont pas des boréliens, mais pour le démontrer on a besoin de l'axiome du choix.

    Ce qui veut dire qu'il y a des partitions de R qui ne peuvent pas s'écrire comme des unions d'ouverts et de fermés...?
    Attention !! Tout borélien n'est pas union (ou union + intersection) dénombrable de fermés et d'ouverts. Il n'y a pas de critère générale pour d'écrire les boréliens

    Voilà un exemple de non-borélien:
    On définit la relation d'équivalence sur : .

    On prend une famille de représentant des classes (là on utilise l'axiome du choix).
    Alors l'ensemble des ne peut avoir de mesure de Lebesgue et n'est donc pas un borélien (je vous laisse y réfléchir...)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    kolmog

    Re : tribu borélienne sur R

    peux tu nous donner un peu plus de details?

  7. #6
    kolmog

    Re : tribu borélienne sur R

    Citation Envoyé par Garnet Voir le message
    Exact, mais je crois qu'il voulait dire "ensemble des parties".

    Il y a des parties de qui ne sont pas des boréliens, mais pour le démontrer on a besoin de l'axiome du choix.



    Attention !! Tout borélien n'est pas union (ou union + intersection) dénombrable de fermés et d'ouverts. Il n'y a pas de critère générale pour d'écrire les boréliens

    Voilà un exemple de non-borélien:
    On définit la relation d'équivalence sur : .

    On prend une famille de représentant des classes (là on utilise l'axiome du choix).
    Alors l'ensemble des ne peut avoir de mesure de Lebesgue et n'est donc pas un borélien (je vous laisse y réfléchir...)

    Peux tu nous donner un peu plus de details?

  8. #7
    Garnet

    Re : tribu borélienne sur R

    On pose l'union des .
    On a :
    .
    - L'union est disjointe
    - Tous les (pour )ont la même mesure.
    est de mesure non nulle donc est de mesure non nulle.
    - est de mesure finie donc est de mesure nulle.
    CQFD.

  9. #8
    rosa20

    Re : tribu borélienne sur R

    slt a tout...g pa compri cette demonstration plus de details svp...

  10. #9
    Garnet

    Re : tribu borélienne sur R

    On pose l'union des .
    On a :
    - car on a pris tous les représentants des classes d'équivalence.

    - car

    - L'union est disjointe car les classes n'apparaissent qu'une seule fois.

    Supposons que soit un borélien, il admet alors une mesure.

    - Tous les (pour )ont la même mesure.

    - est de mesure non nulle, donc est de mesure non nulle, et donc est de mesure non nulle.

    - est de mesure finie, est de mesure finie, donc est de mesure nulle (l'union est disjointe et dénombrable, donc la mesure de la l'union est la somme des mesures).
    Contradiction. Donc n'est pas un borélien.

  11. #10
    rosa20

    Re : tribu borélienne sur R

    meeeeeeeeerci,trés gentil de ta part..

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