tribu borélienne sur R

[invite6bd2ab1d]

Bonjour, on défini une tribu borélienne sur R comme la plus petite σ-algèbre sur R contenant tous les ensembles ouverts.

Le problème c'est que cette tribu est inclue strictement dans l'ensemble des partitions de R. Ce qui veut dire qu'il y a des partitions de R qui ne peuvent pas s'écrire comme des unions d'ouverts et de fermés...?

Quelqu'un aurait-il un exemple d'une telle partition de R?
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[Médiat]

Le problème c'est que cette tribu est inclue strictement dans l'ensemble des partitions de R.

Une tribu n'est pas une partition.

Ce qui veut dire qu'il y a des partitions de R qui ne peuvent pas s'écrire comme des unions d'ouverts et de fermés...?
Quelqu'un aurait-il un exemple d'une telle partition de R?

Pour la topologie usuelle :

[invite986312212]

Le problème c'est que cette tribu est inclue strictement dans l'ensemble des partitions de R. Ce qui veut dire qu'il y a des partitions de R qui ne peuvent pas s'écrire comme des unions d'ouverts et de fermés...?

est-ce que tu veux dire "l'ensemble des parties de R" ? Toute partie de R est union de fermés (pour la topologie usuelle) puisque tout singleton est fermé (et l'ensemble vide est l'union d'une famille vide de fermés). Mais une tribu est seulement tenue de contenir les unions de familles dénombrables de ses membres.

[invitea41c27c1]

Une tribu n'est pas une partition.

Exact, mais je crois qu'il voulait dire "ensemble des parties".

Il y a des parties de qui ne sont pas des boréliens, mais pour le démontrer on a besoin de l'axiome du choix.

Ce qui veut dire qu'il y a des partitions de R qui ne peuvent pas s'écrire comme des unions d'ouverts et de fermés...?

Attention !! Tout borélien n'est pas union (ou union + intersection) dénombrable de fermés et d'ouverts. Il n'y a pas de critère générale pour d'écrire les boréliens

Voilà un exemple de non-borélien:
On définit la relation d'équivalence sur : .

On prend une famille de représentant des classes (là on utilise l'axiome du choix).
Alors l'ensemble des ne peut avoir de mesure de Lebesgue et n'est donc pas un borélien (je vous laisse y réfléchir...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4480b7ec]

peux tu nous donner un peu plus de details?

[invite4480b7ec]

Exact, mais je crois qu'il voulait dire "ensemble des parties".

Il y a des parties de qui ne sont pas des boréliens, mais pour le démontrer on a besoin de l'axiome du choix.



Attention !! Tout borélien n'est pas union (ou union + intersection) dénombrable de fermés et d'ouverts. Il n'y a pas de critère générale pour d'écrire les boréliens

Voilà un exemple de non-borélien:
On définit la relation d'équivalence sur : .

On prend une famille de représentant des classes (là on utilise l'axiome du choix).
Alors l'ensemble des ne peut avoir de mesure de Lebesgue et n'est donc pas un borélien (je vous laisse y réfléchir...)

Peux tu nous donner un peu plus de details?

[invitea41c27c1]

On pose l'union des .
On a :
.
- L'union est disjointe
- Tous les (pour )ont la même mesure.
est de mesure non nulle donc est de mesure non nulle.
- est de mesure finie donc est de mesure nulle.
CQFD.

[invitefe1390a2]

slt a tout...g pa compri cette demonstration plus de details svp...

[invitea41c27c1]

On pose l'union des .
On a :
- car on a pris tous les représentants des classes d'équivalence.

- car

- L'union est disjointe car les classes n'apparaissent qu'une seule fois.

Supposons que soit un borélien, il admet alors une mesure.

- Tous les (pour )ont la même mesure.

- est de mesure non nulle, donc est de mesure non nulle, et donc est de mesure non nulle.

- est de mesure finie, est de mesure finie, donc est de mesure nulle (l'union est disjointe et dénombrable, donc la mesure de la l'union est la somme des mesures).
Contradiction. Donc n'est pas un borélien.

[invitefe1390a2]

meeeeeeeeerci,trés gentil de ta part..