bonjour j'ai entendu parler de l'espace: euclidien ,sphérique, hyperbolien, euclidien chiffonner... je vois seulement la base de leurs différences mais j'aimerais mieux les comprendre!!! si quelqu'un pourrais m'expliquer tout cela plus en profondeur sa serais fort gentil
merci
En gros, un espace euclidien est un espace à courbure moyenne nulle, un sphérique à courbure positive et hyperbolique à courbure négative...Envoyé par Zalsar_X
Salut,
Commençons en 1D : pour caractériser la courbure d'une... courbe, par exemple un virage, on fait appel à la notion de rayon de courbure R. En chaque point on définit le rayon du cercle tangent à la courbe (appelé cercle osculateur).
La courbure X c'est tout simplement l'inverse du rayon de courbure, X=1/R. Plus R est petit, plus la courbure est grande.
Si R est nul, la courbure n'est pas définie, on a un point anguleux. Inversement, une droite bien rectiligne se definit par un rayon de courbure infini et X est nulle, comme on s'en doutait. Que le virage aille à droite ou a gauche est indifférent et R est toujours positif. In fine, X est donc seulement positive ou nulle en 1D.
En 2D maintenant. Sur une nappe on se représente en chaque point le plan tangent à la nappe. Et, pointant orthogonalement à ce plan, en tout point, un vecteur normal h. En suivant un chemin fermé quelconque parcourant la nappe si h revient en son point initial identique à lui même, la nappe est dite orientable (ça a un sens de définir une direction et son opposée). S'il revient inversé, c-a-d pointant dans la direction opposée à celle de départ, cas du ruban de Moebius, la nappe est dite non orientable.
Faisons maintenant passer un plan selon h, cad un plan normal à la nappe. Son intersection avec la nappe définit un arc (une section) le long duquel, en chaque point on peut définir une courbure dans le sens de précédemment (1D). Mais comme c'est en 2D qu'on travaille, en chaque point de cet arc, on peut regarder ce qui se passe si on tranche la nappe perpendiculairement, et mesurer le rayon de courbure et la courbure tout pareille : on a donc 2 courbures possibles.
Ajoutons à cela, si la surface est orientable, que le rayon de courbure peut se situer d'un côté ou de l'autre de la nappe. Aussi le rayon de coubure et la courbure, son inverse, ont un signe, positif ou négatif : X est donc négative, positive ou nulle en 2D.
Bien. Considérant la nappe en un point donné, on va essayer de la trancher de manière à ce que le rayon de coubure soit le plus petit possible et la courbure correspondante maximale. Tchac, on tranche on mesure et on obtient R1 le rayon et X1 = 1/R1 son inverse, la courbure principale.
Première chose remarquable, il se trouve que le rayon de courbure R2 obtenue en tranchant perpendiculairement en ce point est, lui, maximal, et la courbure X2 correspondante, minimale.
Avec 2 nombres comme X1 et X2 on peut s'amuser.
En les combinant, on va définir deux types de courbures.
H, la courbure moyenne est la moyenne de X1 et X2
H=(X1+X2)/2
et K, la courbure de Gauss, leur produit.
K=X1.X2
Voyons ce que cela donne dans un cas concret. Disons un cylindre et une sphère de rayon r.
Commençons par le cylindre. La courbure principale est la section du cylindre, un cercle de rayon r. Perpendiculairement à cette section, j'ai la génératrice du cylindre qui est une droite.
J'ai donc X1 = 1/r et X2 = 0.
Ce qui me donne
H = 1/2r
K = 0
Pour la sphère, j'ai X1 = X2 = 1/r
H = 1/r
K = 1/r²
On mesure ainsi que la courbure moyenne d'une sphère est deux fois plus forte que celle d'un cylindre. Ca correspond bien à l'intuition (puisque la sphère est courbée selon deux direction contre une seule dans le cas du cylindre). Plus surprenant on mesure que la courbure de Gauss est nulle dans le cas du cylindre.
OR, la signification profonde d'une courbure de Gauss nulle, c'est la propriété de la nappe à accepter des projections sans déformation d'angle depuis un plan. Si la courbre de Gauss n'est pas nulle, on ne peut pas passer du cas euclidien (le plan) à la nappe sans déformer les angles ou les surfaces.
On peut ainsi couvrir un cylindre avec une feuille de papier sans faire de pli. Mais on ne peut emballer un orange sans froisser le papier.
La courbure de Gauss est donc intrinseque, elle influe sur la géométrie que l'on peut tracer sur la nappe.
Si K =0 on a quelque chose d'euclidien. Un cylindre est donc euclidien bien qu'apparemment courbé.
Si K > 0, cela signifie que les 2 rayon de courbures, R1 minimal et R2 maximal en chaque point, sont du même côté de la nappe (ils sont soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs, selon le sens arbitraire selon lequel on a orienté la nappe). C'est le cas de la sphère.
Si K < 0 cela signifie que en un point une des ligne de courbure est positive et l'autre perpendiculairement est négative. C'est le cas de la selle de cheval.
vala. Et après on généralise en 3 dimensions.
Je passe la main pour les espaces chiffonnés de notre ami Luminet.
Je te conseille son bouquin déjà, c'est remarquablement expliqué.
a+
okok , je vai aller l'acheter merci!
Il existe en poche (pas chir !)
bonne lecture
a+
il est bien traduit et bien écrit ? car j'ai été recemment deçusde certaines traductions tel que pour "the frabric of the cosmos"... voila pourquoi je suis méfiant de toute manière qu'est ce qu' on risque avec un livre de poche.encor merci
Luminet est français le problème de traduction ne se pose pasil est bien traduit et bien écrit ? car j'ai été recemment deçus
Si tu veux quelques échantillons (tous d'un grand intérêt par ailleurs) : http://luth2.obspm.fr/luminet.html
(/!\ les 1e liens ne marchent pas)
Je te conseille ça notamment, l'intro à l'invention du Big Bang :
http://luth2.obspm.fr/~luminet/Books/FL.html
a+
Dernière modification par Gilgamesh ; 18/03/2006 à 18h50.
