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Espace Métrique Séparable



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    Espace Métrique Séparable


    ------

    Bonjour,

    J´ai une question concernant un théorème de topologie. Je lis dans mon cours:

    Soit E un espace métrique séparable. Si A est une famille d´ouverts de E non vides et deux-à-deux disjoints, cette famille est dénombrable.

    Bon d´après ce que je sais, un ensemble est dénombrable quand il est de même cardinale que N. Dans ce cas ça voudrait dire qu´une famille vérifiant les conditions précédentes est de même cardial que N. Pourtant si je prend E = R, R est bien métrique et séparable et deux intervalles ouverts quelconques disjoints forment une famille de cardinal 2.

    Je viens de lire la définition de "dénombrable" dans Wiki. Apparement il y en a deux, c´est nouveau pour moi: La première est donc de même cardinal que N, la deuxième est aussi de même cardinal que N ou bien de cardinal fini.

    Est-ce le cas ici ou y a-t-il une subtilité de ce théorème qui m´échappe?
    Pige-je ou me goure-je?

    merci d´avance

    Christophe

    -----

  2. #2
    Ledescat

    Re : Espace Métrique Séparable

    Bonsoir.

    Je ne comprends pas pourquoi il y a 2 définitions.
    E est dénombrable ssi il est de même cardinal que IN (ie il existe une bjection de E dans IN).
    S'il a un cardinal fini, on ne dit pas qu'il est dénomrable, on dit simplement qu'il est fini (pourquoi se compliquer la vie ).
    Pour ce qui est des métriques je ne saurais t'en dire plus .

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  3. #3
    erik

    Re : Espace Métrique Séparable

    Bonsoir on peut réécrire le théorème comme ça :

    Soit E un espace métrique séparable. Si A est une famille infini d´ouverts de E non vides et deux-à-deux disjoints, cette famille est dénombrable.

    (ou encore :

    Soit E un espace métrique séparable. Si A est une famille d´ouverts de E non vides et deux-à-deux disjoints, cette famille est dénombrable ou fini.)

    En fait ce théorème n'est utile que dans le cas (à ma connaissance) où la famille A est infini. Si tu construits de manière non explicite une famille d'ouverts (disjoints), tu sais que si E est séparable ta famille est dénombrable.

    Si tu as une famille fini d'ouverts, quelque soit l'espace dans lequel tu te trouves, ben tu sais que ta famille est fini, pis voila, on se pose pas la question de savoir si elle est dénombrable ou non, elle est fini.

  4. #4
    Taar

    Re : Espace Métrique Séparable

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message

    Je viens de lire la définition de "dénombrable" dans Wiki. Apparement il y en a deux, c´est nouveau pour moi: La première est donc de même cardinal que N, la deuxième est aussi de même cardinal que N ou bien de cardinal fini.
    Salut !

    À vrai dire les puristes précisent toujours "fini ou dénombrable" ou "au plus dénombrable", mais il est d'usage fréquent de faire l'ellipse du "au plus". Quand je dis fréquent, c'est "fréquent, même dans des articles de recherche"...

    Mais tu as raison, il y a là une vraie divergence de sens.

    Il est intéressant de constater que les Anglais sont plus précis que nous sur ce point :
    • l'anglais "countable" signifie "fini ou dénombrable"
    • l'anglais "denumerable" (ou "countably infinite") signifie "de même cardinal que "



    En 1896, Couturat (cf les Historical Papers de l'université du Michigan) employait après Cantor le mot dénombrable au sens de "de même cardinal que ". Je pense qu'ensuite le besoin d'un mot comme "countable" s'est fait ressentir mais qu'aucun mot français n'est venu combler le manque...

    Dans le même esprit, j'aime bien la difficulté actuelle que nous Français avons à nous débarrasser du mot "corps" pour désigner un corps non commutatif, au profit du mot "corps gauche" (sous prétexte qu'il est contraire à l'usage francophone qu'une épithète fasse autre chose que réduire la portée d'un mot).

    Mais tout ceci n'engage que moi.

    Taar.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : Espace Métrique Séparable

    Bon ben merci, c´est exactement les précisions dont j´avais besoin sur le moment. Peut-être ma question était-elle un peu naive, mais bon après la pose de l´été, c´est dûr de s´accrocher à la topo...

  7. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace Métrique Séparable

    salut,

    le glissement de sens de "dénombrable" vers: "fini ou dénombrable" se justifie à mes yeux parce que ça permet d'utiliser l'expression brève "non-dénombrable" dans le sens de "infini non dénombrable": par exemple "une topologie qui vérifie telle et telle propriété est nécessairement non-dénombrable" (allusion à un fil voisin).

  8. #7
    Médiat

    Re : Espace Métrique Séparable

    Citation Envoyé par ambrosio
    le glissement de sens de "dénombrable" vers: "fini ou dénombrable" se justifie à mes yeux parce que ça permet d'utiliser l'expression brève "non-dénombrable" dans le sens de "infini non dénombrable": par exemple "une topologie qui vérifie telle et telle propriété est nécessairement non-dénombrable" (allusion à un fil voisin).
    A l'opposé cela oblige à préciser "infini dénombrable" pour les théorèmes non valides sur les ensembles finis (théorème de Löwenheim-Skolem dans sa version la plus habituel, par exemple).
    Comme toutes les conventions, il y a du bon et il y a du mauvais (la solution anglaise est parfaite)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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