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Espace métrique



  1. #1
    FonKy-

    Espace métrique

    Bonjour,
    je voudrait juste savoir ce qu'est un espace métrique car on ne m'en a parlé, et en fait je voudrais savoir quelle est la diffférence avec un EVN. Un EVN est un espace métrique ?
    Inutile de trop rentrer dans le détail ni d'entrer dans un débat métaphysique sur le sujet.

    Merci, FonKy-

    -----


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  3. #2
    erik

    Re : Espace métrique

    Salut,

    Un espace métrique E est un ensemble sur lequel on a définit une fonction d de E² dans R+, qu'on appelle une distance.

    La fonction d doit vérifier :
    d(x,y)=0 ssi x=y
    d(x,y)=d(y,x)
    d(x,y)+d(y,z)>=d(x,z)

    Pour un EVN tu peux définir une distance sur ton EVN en posant d(x,y)=||x-y|| , et tu obtiens ainsi un espace métrique (évidemment tu peux définir d'autre distance si tu veux, mais celle si est naturelle, on parle de la distance induite par la norme)

  4. #3
    rajamia

    Re : Espace métrique

    salut

    un espace métrique est un ensemble muni d'une distance d que erik a bien donné les axiomes qu'elle vérifien,

    alors qu'un espace normé est un ensemble munit d'une norme qu'on note souvent ||.|| elle vérifie elle aussi quatre axiomes qui sont

    - ||x||>=0 pour tout x
    -||x||=0 équivaut x=0
    -||x+y||=< ||x|| + ||y|| pour tout x et y dans l'espace
    -||ax||=|a|.||x|| pour tout a réel et x dans l'espace

    note |a| c'est la valeur absolut de a

  5. #4
    invite43219988

    Re : Espace métrique

    Et puisque toute norme induit une distance en posant d(x,y)=||y-x||, on peut dire que tout EVN est inclu dans un espace métrique alors que l'inverse n'est pas vrai !

  6. #5
    FonKy-

    Re : Espace métrique

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Et puisque toute norme induit une distance en posant d(x,y)=||y-x||, on peut dire que tout EVN est inclu dans un espace métrique alors que l'inverse n'est pas vrai !
    C'est bizarre parcque rajamia et erik semblent dire linverse :/

    FonKy-

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite43219988

    Re : Espace métrique

    Pour un EVN tu peux définir une distance sur ton EVN en posant d(x,y)=||x-y|| , et tu obtiens ainsi un espace métrique (évidemment tu peux définir d'autre distance si tu veux, mais celle si est naturelle, on parle de la distance induite par la norme)
    On peut bien définir une distance sur tout EVN alors qu'on ne peut pas définir de norme sur tout espace métrique.

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  10. #7
    Le_Ced

    Re : Espace métrique

    C'est ptet une question bête mais est ce qu'on peut pas définir une norme sur tout espace métrique en définissant que ||x||=d(x;0)
    Il me semble que cette aplication est bien une norme donc je vois pas trop le souci !
    A moins bien sur qu'un espace métrique ne contienne pas forcément d'élement neutre et la on aurait de toute façon du mal à obtenir l'équivalence entr ||x||=0 et x=0 et donc à parler de norme
    merci pour la réponse

  11. #8
    Gwyddon

    Re : Espace métrique

    Citation Envoyé par Le_Ced Voir le message
    C'est ptet une question bête mais est ce qu'on peut pas définir une norme sur tout espace métrique en définissant que ||x||=d(x;0)
    Il me semble que cette aplication est bien une norme donc je vois pas trop le souci !
    Tout simplement parce qu'une norme présuppose un espace vectoriel : il faut donc définir un groupe additif, une loi externe, un corps de base, etc...

    Un espace métrique est quelque chose de bien plus général qu'un espace vectoriel normé, de même qu'un espace topologique est quelque chose de bien plus général qu'un espace métrique.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    invite43219988

    Re : Espace métrique

    Ou pour avoir un contre-exemple : une distance bornée ne peut pas provenir d'une norme car une distance de la forme d(x,y)=||x-y|| n'est pas bornée :
    d(0,a.x)=||a.x||=|a|.||x|| qui tend vers l'infini lorsque |a|->l'infini (et x différent de 0 bien sur)
    On peut prendre par exemple la distance : d(x,y)/(1+d(x,y))

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