Espace métrisable est-il séparé ?

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai besoin d´une petite précision. Je sais d´après mon cours qu´un espace métrique est toujours séparé.

Peut-on dire la même chose d´un espace métrisable? Un espace métrisable est-il toujours séparé?

Merci d´avance

Christophe
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[Médiat]

Peut-on dire la même chose d´un espace métrisable? Un espace métrisable est-il toujours séparé?

Sauf erreur de ma part un espace métrisable est un espace dont la topologie est définissable avec une distance (au moins) cette distance qui permet de dire que l'espace est séparé, non ?

[invite4ef352d8]

Salut !


Evidement oui !


il faut bien comprendre que la seul différence entre un espace métrique et un espace métrisable, c'est que dans un espace métrique on à choisit une distance, alors que dans un espace métrisable non. cette différence intervient quand on parle de propriété métrique : par exemple dire que telle parti est borné, ou que telle suite est de cauchy dépend de la distance choisit : deux distance peuvent définir les meme topologie mais donné des parties borné différentes et des suites de cauchy différente (je suis pas du tous sur du dernier point en fait... ).

mais le fait d'etre séparé dépend uniquement de la topoloie, donc choisir une métrique plutot qu'un autre n'as aucune importance.

[invitee75a2d43]

merci de vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut !

deux distance peuvent définir les meme topologie mais donné des parties borné différentes et des suites de cauchy différente (je suis pas du tous sur du dernier point en fait... ).

Salut,

Question marrante, ça. Un premier point de réponse:

Si tu te donnes deux distances d1 et d2 sur un espace topologique E, l'application Id: (E,d1) -> (E,d2) est continue du fait que les topologies sont les mêmes. Sauf erreur, cela impliqe que d1(x,y) < Cx d2 (x,y) pour tout y dans un voisinage de x, où Cx dépend à priori du point x. S'il n'y a pas de méta raison pour que Cx puisse être pris de façon uniforme en x, ie l'application Id ci-dessus soit uniformément continue, eh bien les équivalences de distance semblent foireuses, non ?

Cela dit, si E est compact pour la topologie qu'on a, il ne devrait pas y avoir de problèmes.
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rvz

[invite2c3ff3cc]

et des suites de cauchy différente (je suis pas du tous sur du dernier point en fait... ).

Si si. On peut très bien avoir (j'ai lu un truc là dessus, je sais plus où, deux distances sur ) deux espaces métriques topologiquement équivalents, l'un complet, l'autre non !

[invite4ef352d8]

ouai je confirme que c'est possible :

le segment ]-1,1[ munie de la distance usuelle
le segment ]-1,1[ munie de la distance d(x,y)->|x-y|/(1-xy)

les topologie sont les meme, la premier n'est pas complet mais borné la deuxieme est complete mais non borné.

(la deuxieme est une distance, et est complete car c'est l'image de R munie de la distance usuell par x->tanh(x) )

[invite2c3ff3cc]

Très intéressant Ksilver, je note dans un coin de ma petite tête ce bel exemple !