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formes bilinéaires et applications linéaires



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    formes bilinéaires et applications linéaires


    ------

    bonjour,

    je suis en train d´apprendre les formes linéaires et les applications linéaires. Et j´ai une question:

    Avec une application linéaire, on a f(λx) = λf(x)
    avec une forme bilinéaire on a φ(λx, y) = λφ(x)

    J´en déduis qu´une forme bilinéaire n´est pas une application linéaire, car on a:

    φ[λ(x, y)] = φ(λx, λy) = λ^2 φ(x, y)

    Me goure-je ou délire-je?

    merci d´avance

    -----

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  3. #2
    Coincoin

    Re : formes bilinéaires et applications linéaires

    Salut,
    De toute façon, une application linéaire est une fonction d'une variable alors qu'une application bilinéaire est une fonction de deux variables...
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    invite43219988

    Re : formes bilinéaires et applications linéaires

    Tu ne te goure-je pas, une application bilinéaire n'est pas linéaire, elle est bilinéaire (fallait y penser).

    Une application lineaire (1-linéaire) est linéaire par rapport à une variable.

    Une application bilinéaire (2-linéaire) est linéaire par rapport à deux variables etc...

  5. #4
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires et applications linéaires

    bon merci je suis rassuré, donc j´avais bien compris.

    par contre je suis pas vraiment d´accord coincoin, car il me semble qu´un couple (x,y) peut aussi être considéré formellement comme une variable non?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Coincoin

    Re : formes bilinéaires et applications linéaires

    Oui, tu as tout à fait raison. J'y ai pensé mais j'ai eu la flemme de le préciser...
    Encore une victoire de Canard !

  8. #6
    GillesH38a

    Re : formes bilinéaires et applications linéaires

    Tout à fait exact, exemples très simples :

    f(x,y)=x+y est 1-linéaire par rapport à (x,y)
    f(x,y) = xy est bilineaire.

    Et evidemment chacune n'a pas l'autre propriété.

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  10. #7
    fderwelt

    Re : formes bilinéaires et applications linéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    J´en déduis qu´une forme bilinéaire n´est pas une application linéaire
    C'est ben vrai ça... Mais au risque d'embrouiller un peu plus les choses, on a inventé un truc qui s'appelle le produit tensoriel, et qui permet de considérer une application bilinéaire comme une application linéaire sur un autre espace, un peu plus tordu, mais tellement commode pour les calculs...

    Plus de détails si ça t'intéresse, les notations sont assez ch... pénibles.

    -- françois

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