[exo suites] sommes de C.

[invite1e5f0300]

Voilà j'ai un petit problème auquel je suis soumis sur les sommes de Césaro.

(petit rappel du dit théorème ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._%28analyse%29 )

notations : (K= R ou C) et dans les expressions : cn, ak, bn-k le(s) symbole(s) suivant la première lettre représentent l'indice

On considère deux suites a et b élément de F(N,K) quelconques.
A ces deux suites, on a associe la suite c définie par :

(cn) = ( (1/(n+1)) * somme(k=0 -> n) ak*bn-k )


et j'ai deux questions :

1) Montrer que si a converge vers 0 et b bornée alors c converge vers 0

2) Déduisez-en que si a converge vers A (un élément de K) et si b converge vers B, alors c converge vers le produit A*B



Je suis bloqué dans ces dems.
D'abord j'aimerais appliquer Césaro bien sûr pour la 1) mais je ne vois pas comment isoler la suite intérieure proprement. Les trucs que je ponds ne sont pas rigoureux.

Auriez-vous des idées de dems propres pour 1. puis pour 2. ?
Merci d'avance,
Cordialement.
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[invite35452583]

1) En majorant par exemple :

par une expression de la forme :

on se ramène aux conditions du théorème de Cesaro.

2) Par exemple, en utilisant

et appliquer (2 fois) ce qui précéde.

[invite1e5f0300]

pour le 1. c'est parfait, ça marche très bien, j'ai plus qu'à rédiger


par contre pour le 2. j'avais eu le temps de le faire entre temps et j'y arrive en appliquant seulement une fois Cesaro !

voilà ma démarche :
Je choisis d'utiliser par exemple (an-A) :

J'applique le 1) avec (an-a)->0 et (bn) bornée

j'ai donc :

lim 1/(n+1) * somme(k=0 -> n) (ak-a)*bn-k = 0

donc j'ai :

lim cn = lim 1/(n+1) * somme(k=0 -> n) a*bn-k
lim cn = a * lim 1/(n+1) * somme(k=0 -> n) bk

et comme par cesaro la limite de droite vaut b j'ai bien : lim cn =a*b : CQFD


Un soucis?
Pourquoi avoir besoin d'utiliser le mécanisme deux fois ?

[invite35452583]

Salut,

j'ai simplement décomposé ainsi :

Et j'applique le 1) de l'exercice (pas le théorème de Cesaro) aux deux premiers termes du membre de gauche.

Ta méthode fonctionne (bien des chemins mènent à Rome) mais il y a un petit problème techique :

J'applique le 1) avec (an-a)->0 et (bn) bornée

j'ai donc :

lim 1/(n+1) * somme(k=0 -> n) (ak-a)*bn-k = 0

donc j'ai :

lim cn = lim 1/(n+1) * somme(k=0 -> n) a*bn-k

Cette dernière ligne suppose que la suite (cn) converge avant même de l'avoir montré. Tout est déjà dans ce que tu as fait, il y a juste à être un peu plus soigneux dans l'ordre de la rédaction.


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]