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Exo suites



  1. #1
    Gpadide

    Exo suites


    ------

    Bonjour, voici un exo d'oral des mines que je cherche depuis longtemps et que je n'arrive pas du tout a resoudre:
    u_n et v_n deux suites réelles, que peut on en dire si :
    u_n² + u_n * v_n + v_n² tend vers zero ?

    A mon avis les 2 suites tendent vers zero mais je n'arrive pas a le montrer, ca serait sympas s'il y avait un 2 devant le produit ((:

    -----

  2. #2
    Jeanpaul

    Re : Exo suites

    Déjà remarquer que u_n² + u_n*v_n + v_n² est toujours positif. En effet, si on met u_n² en facteur, on fait intervenir le polynôme 1 + x + x² qui est toujours supérieur à 1/4 (trivial).
    A partir de là, je te laisse finir et démontrer qu'il n'est pas possible que u_n ne tende pas vers zéro, par exemple par l'absurde.

  3. #3
    Gpadide

    Re : Exo suites

    Par l'absurde c'est difficile car u_n peut soit :
    - ne pas avoir de limite
    - tendre vers une limite non nulle

    C'est plutot le premier cas qui me gene a chaque fois !

  4. #4
    Taar

    Re : Exo suites

    Salut.

    Essaie de mettre ton truc du second degré sous "forme canonique".

    Spoiler 1 :

    x2+xy+y2=(x+(1/2)y)2+(3/4)y2

    Spoiler 2 :

    0 <= (3/4)y2 <= x2+xy+y2

    et voilà.
    Taar.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gpadide

    Re : Exo suites

    Waw joli, j'aurais jamais trouvé ca, dailleurs je pense que je trouverai jamais des trucs comme ca (:

  7. #6
    Taar

    Re : Exo suites

    Mais si mais si....

    On passe sa vie à réduire des formes quadratiques. À la fin ça devient automatique.

  8. #7
    Jeanpaul

    Re : Exo suites

    Tu peux aussi dire qu'à partir d'un certain rang :
    u_n² + u_n*v_n + v_n² < epsilon (pas besoin de valeur absolue : c'est positif).
    Ou bien u_n vaut 0 ou bien on développe :
    u_n²(1 + x + x²) <epsilon (x = v_n/u_n)
    Comme 1 + x + x² > 3/4 (et non 1/4), on voit que u_n²<epsilon', donc u_n tend vers zéro.
    Idem pour v_n.
    Il est intéressant de regarder ce qui se passe si on prend u_n² + 2*u_n*v_n + v_n² tend vers zéro ou bien avec 3 au lieu de 2.

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