Bonjour, voici un exo d'oral des mines que je cherche depuis longtemps et que je n'arrive pas du tout a resoudre:
u_n et v_n deux suites réelles, que peut on en dire si :
u_n² + u_n * v_n + v_n² tend vers zero ?
A mon avis les 2 suites tendent vers zero mais je n'arrive pas a le montrer, ca serait sympas s'il y avait un 2 devant le produit ((:
Déjà remarquer que u_n² + u_n*v_n + v_n² est toujours positif. En effet, si on met u_n² en facteur, on fait intervenir le polynôme 1 + x + x² qui est toujours supérieur à 1/4 (trivial).
A partir de là, je te laisse finir et démontrer qu'il n'est pas possible que u_n ne tende pas vers zéro, par exemple par l'absurde.
Par l'absurde c'est difficile car u_n peut soit :
- ne pas avoir de limite
- tendre vers une limite non nulle
C'est plutot le premier cas qui me gene a chaque fois !
Salut.
Essaie de mettre ton truc du second degré sous "forme canonique".
Spoiler 1 :
x2+xy+y2=(x+(1/2)y)2+(3/4)y2
Spoiler 2 :
0 <= (3/4)y2 <= x2+xy+y2
et voilà.
Taar.
Waw joli, j'aurais jamais trouvé ca, dailleurs je pense que je trouverai jamais des trucs comme ca (:
Mais si mais si....
On passe sa vie à réduire des formes quadratiques. À la fin ça devient automatique.
Tu peux aussi dire qu'à partir d'un certain rang :
u_n² + u_n*v_n + v_n² < epsilon (pas besoin de valeur absolue : c'est positif).
Ou bien u_n vaut 0 ou bien on développe :
u_n²(1 + x + x²) <epsilon (x = v_n/u_n)
Comme 1 + x + x² > 3/4 (et non 1/4), on voit que u_n²<epsilon', donc u_n tend vers zéro.
Idem pour v_n.
Il est intéressant de regarder ce qui se passe si on prend u_n² + 2*u_n*v_n + v_n² tend vers zéro ou bien avec 3 au lieu de 2.
