Exo: Groupe diedral
Bonjour,
J'ai un exercice à faire et je n'y arrive pas...
Soit G groupe fini à 2n éléments vérifiant de plus les hyp. suivantes:
- G est engendré par 2 éléments x et y
- x est d'ordre n
- y est d'ordre 2
- xy est d'ordre 2
Montrer que G est unique à isomorphisme près et que tous les éléments qui n'appartiennent pas au sous-groupe engendré par x sont d'odre 2.
Je ne sais pas comment m'y prendre pour montrer que G est unique à isomorphisme près...
Merci d'avance pour votre aide.
Salut, pour montrer l'unicité à iso près, tu peux prendre deux tels groupes et construire (judicieusement) un isomorphisme de groupe de l'un sur l'autre.
c'est un exemple de présentation d'un groupe par générateurs et relations. Tu peux faire comme le dit GuYem ou bien construire un modèle "canonique" auquel tous les groupes vérifiant les mêmes hypothèses seront isomorphes. Ca va être le quotient de Z^2 par un certain sous-groupe, défini par les 2 relations.
Merci de m'avoir répondu si rapidement, je vais essayer les deux méthodes...
Salut,
juste une précision :
Il ne s'agit pas deCa va être le quotient de Z^2 par un certain sous-groupe, défini par les 2 relations.(dont les quotients sont abéliens, contrairement au groupe diédral) mais du groupe libre à deux générateurs.
Cordialement.
exact. J'ai concondu groupe abélien libre et groupe libre. Je trouve pas l'icône avec le boulet mais le coeur y est.
