développement limité

invite56f88dc9 · 28/02/2007, 11h09

Bonsoir.Je bute sur un exercice .Pouvez vous m'aider.
g(x)=(x²-1)/((x²+1)(sqrt(1+x^4)))

1)Etablir le développement limité de g à l'ordre 2 au voisinage de 0.
2)Montrer à l'aide d'un changement de variable que $\text{[math]}$ .
3) Soit G la primitive de g s'annulant pour 0: Montrer que pour tout x>0 G(x)=G(1/x).

Mes recherches:

1) Comme je ne voyais pas quelle formule appliquer ou quel changement de variable à faire j'ai appliqué Taylor-Young adapté au DL et après des calculs long et fastidieux j'arrive à f(x)=-1+2x²+o(x²).

Quelle est la méthode avec astuce ? Et dites moi si ce que j'ai trouvé était bon.

2)J'ai essayé 1/x comme changement de variable et ça marche

3)ça découle directement du 2.
Il me manque seulement une bonne méthode pour le calcul du DL

**Calvert** · 28/02/2007, 11h52

Salut!

En utilisant le développement:

$\text{[math]}$ ,
j'arrive à

$\text{[math]}$

Ensuite, en calculant quand même un peu, j'ai:

$\text{[math]}$

et pour finir:

$\text{[math]}$

Ça aide peit-être un peu. Mais j'obtiens le même résultat que toi.

invite56f88dc9 · 28/02/2007, 11h56

A vrai dire ça ne m'aide pas trop.J'ai l'impression que t'as fait aussi du Taylor Young.Quand j'applique la formule j'en ai pour 2 pages de calcul....

(c'est un peu trop en prépa)

**Calvert** · 28/02/2007, 12h00

Disons qu'avec ma méthode, il m'a fallu 6 lignes. Je ne vois pas comment faire un développement limité autrement qu'en calculant des dérivées.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite56f88dc9 · 28/02/2007, 12h17

bah il y a tout un formulaire sur les DL.En général on essaye de se ramener à un cas du formulaire et faire des compositions. Là il s'avère qu'il faut appliquer T-Y .Merci de m'avoir confirmé le résultat.

invite4b9cdbca · 28/02/2007, 12h31

C'est ce que Calvert a fait,je pense.
Normalement tu connais de DL de (1+u)^a au voisinage de 0, où a est un réel.

invite56f88dc9 · 28/02/2007, 12h33

ah pardon j'avais mal compris son raisonnement.

inviteaf1870ed · 28/02/2007, 12h34

Tout cela est beaucoup trop compliqué. Il n'y a pratiquement pas de calcul à faire.

1-tu sais que $\text{[math]}$ donne un DL $\text{[math]}$
2-Ici ton a vaut x⁴
3-Ton expression équivaut donc à $\text{[math]}$ Tu peux négliger le terme en x⁴
4-Le dénominateur de ta fraction vaut $\text{[math]}$
5-Il te reste donc (x²-1)(1-x²)+o(x²)
6-En ne gardant que les termes en x², tu trouves -1+2x²

invite4b9cdbca · 28/02/2007, 12h42

Envoyé par ericcc

5-Il te reste donc (x²-1)(1-x²)+o(x²)

Pour moi il faudrait une ligne de plus pour justifier qu'on a bien o(x²)... Mais bon c'est du pinaillage

inviteaf1870ed · 28/02/2007, 12h47

Oui je l'ai fait "à la physicienne", mais il faut bien que le taupin peaufine et taupine

développement limité