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développement limité



  1. #1
    sensor

    développement limité


    ------

    Bonsoir.Je bute sur un exercice .Pouvez vous m'aider.
    g(x)=(x²-1)/((x²+1)(sqrt(1+x^4)))

    1)Etablir le développement limité de g à l'ordre 2 au voisinage de 0.
    2)Montrer à l'aide d'un changement de variable que .
    3) Soit G la primitive de g s'annulant pour 0: Montrer que pour tout x>0 G(x)=G(1/x).


    Mes recherches:

    1) Comme je ne voyais pas quelle formule appliquer ou quel changement de variable à faire j'ai appliqué Taylor-Young adapté au DL et après des calculs long et fastidieux j'arrive à f(x)=-1+2x²+o(x²).

    Quelle est la méthode avec astuce ? Et dites moi si ce que j'ai trouvé était bon.

    2)J'ai essayé 1/x comme changement de variable et ça marche

    3)ça découle directement du 2.
    Il me manque seulement une bonne méthode pour le calcul du DL

    -----

  2. #2
    Calvert

    Re : développement limité

    Salut!

    En utilisant le développement:

    ,
    j'arrive à



    Ensuite, en calculant quand même un peu, j'ai:



    et pour finir:



    Ça aide peit-être un peu. Mais j'obtiens le même résultat que toi.

  3. #3
    sensor

    Re : développement limité

    A vrai dire ça ne m'aide pas trop.J'ai l'impression que t'as fait aussi du Taylor Young.Quand j'applique la formule j'en ai pour 2 pages de calcul.... (c'est un peu trop en prépa)

  4. #4
    Calvert

    Re : développement limité

    Disons qu'avec ma méthode, il m'a fallu 6 lignes. Je ne vois pas comment faire un développement limité autrement qu'en calculant des dérivées.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    sensor

    Re : développement limité

    bah il y a tout un formulaire sur les DL.En général on essaye de se ramener à un cas du formulaire et faire des compositions. Là il s'avère qu'il faut appliquer T-Y .Merci de m'avoir confirmé le résultat.

  7. #6
    kron

    Re : développement limité

    C'est ce que Calvert a fait,je pense.
    Normalement tu connais de DL de (1+u)a au voisinage de 0, où a est un réel.
    Life is music !

  8. #7
    sensor

    Re : développement limité

    ah pardon j'avais mal compris son raisonnement.

  9. #8
    ericcc

    Re : développement limité

    Tout cela est beaucoup trop compliqué. Il n'y a pratiquement pas de calcul à faire.

    1-tu sais que donne un DL
    2-Ici ton a vaut x4
    3-Ton expression équivaut donc à Tu peux négliger le terme en x4
    4-Le dénominateur de ta fraction vaut
    5-Il te reste donc (x²-1)(1-x²)+o(x2)
    6-En ne gardant que les termes en x², tu trouves -1+2x²
    Dernière modification par ericcc ; 28/02/2007 à 11h38.

  10. #9
    kron

    Re : développement limité

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    5-Il te reste donc (x²-1)(1-x²)+o(x2)
    Pour moi il faudrait une ligne de plus pour justifier qu'on a bien o(x²)... Mais bon c'est du pinaillage
    Life is music !

  11. #10
    ericcc

    Re : développement limité

    Oui je l'ai fait "à la physicienne", mais il faut bien que le taupin peaufine et taupine

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