Bonjour,
voici un problème proposé dans mes feuilles d'exercices. J'ai réussi à répondre aux 4 premières questions mais je bloque sur la 5 ème.
L'énoncé est le suivant :
Soit G un groupe d'ordre fini, non abélien, engendré par deux éléments a et b d'ordre 2.
1) On pose u = ab et H = <u>, montrer que H n'est pas d'ordre 2. On notera n l'ordre de u.
2) Montrer que tout élément x de G est de la forme![]()
![]()
avec r et t {0,1}. Montrer que a(ab)a =
et que H est distingué dans G. Montrer que
= e.
3) En déduire que G = H.<a> et que G est d'ordre 2n.
4) En déduire que G = <u=ab,a>, et que u et a sont liés par les relations= 1,
= 1, aua =
.
C'est à patrir de là que je bloque :
5) Montrer que tous les élémentsH sont d'ordre 2.
Merci d'avance pour votre aide.
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