[exo] Suites

[invite9b6e0fb5]

TermS

J'ai un problème sur un exercice sur les suites où je n'arrive pas à trouver ce qu'il me demande

Montrer que pour tout entier naturel n, on a:

4-U_n+1 =< (1/2)(4-U_n)

sachant que: U₀=0 et U_n+1= Racine de (3U_n+4)

Avant, on m'a fait calculer convergence et donc limite où j'ai trouvé 4 (juste.)

J'ai essayer de faire un résonnement par récurrence, je n'aboutit à rien.

Puis j'ai essayer de remplace 4-U_n+1 par 4-Racine de (3Un+4)

mais je ne trouve rien, meme en essayant d'enlever la racine en multipliant le conjugué (4+Racine sur 4+Racine)

mais de même je n'arrive a rien.

Est ce que qq1 pourrait me donner une marche à suivre possible?

merci.
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[matthias]

Tu as probablement d&#233;j&#224; montr&#233; que :

Maintenant tu veux montrer que :

Tu remplaces donc par son expression en fonction de , tu te d&#233;brouilles pour &#233;liminer la racine carr&#233;e par un passage au carr&#233;, et apr&#232;s quelques petites manipulations, tu dois retomber sur quelque chose de simple o&#249; tu peux utiliser la premi&#232;re in&#233;galit&#233; que j'ai donn&#233;.

[invite9b6e0fb5]

justement, en cours notre professeur nous a dit de ne pas &#233;lever au carr&#233; parceque &#231;a allait nous redonner une racine
16-8*Racine(3Un+4)+(3Un+4)

donc je ne comprends pas comment &#233;lever au carr&#233; &#224; ce moment l&#224;...

[invite9b6e0fb5]

svp... &#231;a fait une heure que je suis dessus, et je n'arrive &#224; rien... j'essaye mais je ne comprends toujours pas...

help !! :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Il faut modifier ton égalité pour n'avoir que la racine carrée d'un côté, les autres membres de l'autre. Comme ça la racine disparaît vraiment quand tu élèves au carré

[invite9b6e0fb5]

mais si c'est le r&#233;sultat qu'il faut d&#233;montrer, on ne peux pas partir de celui-ci ...
Je ne peux pas partir de l'in&#233;galit&#233;, mais seulement de 4-U_n+1

&#224; moins de ne pas avoir compris :/

[matthias]

mais si c'est le r&#233;sultat qu'il faut d&#233;montrer, on ne peux pas partir de celui-ci ...
Je ne peux pas partir de l'in&#233;galit&#233;, mais seulement de 4-U_n+1

Il faut toujours faire attention quand on fait cela effectivement, mais ce n'est pas une raison pour s'en priver car c'est bien pratique.
L'important est de toujours raisonner par &#233;quivalence pour pouvoir remonter jusqu'&#224; l'in&#233;galit&#233; de d&#233;part. L&#224; o&#249; il faut faire particuli&#232;rement attention, c'est quand tu &#233;l&#232;ves au carr&#233;. Si tu le fais sur des nombres positifs, &#231;a ne pose pas de probl&#232;me, mais il faut faire attention.
Si tu as des doutes, fais le en partant de l'in&#233;galit&#233; au brouillon, et r&#233;diges ensuite en sens inverse.

[invite9b6e0fb5]

hmmm, d'accord.

Donc, pour r&#233;sumer, je pars de 4-U_n+1 =< 4 (car Un > 0) et &#224; partir de l&#224;, je me d&#233;brouille pour arriver &#224; l'in&#233;galit&#233;s qu'il me demande de trouver.

Ai je juste?

[matthias]

Non, tu pars de l'inégalité exacte à démontrer:

ensuite tu remplaces évidemment à l'aide de la formule de récurrence pour n'avoir que des , etc.

[invite9b6e0fb5]

a&#239;e a&#239;e a&#239;e...

Le fait est que je ne comprends pas pourquoi partir de ce r&#233;sultat qu'il faut en fait d&#233;montrer. Logiquement, je devrais partir d'un "truc" pour arriver &#224; &#231;a... non ?

Parceque, si je ne me trompe pas, je ne dois pas dire si Un est inf&#233;rieur ou sup&#233;rieur &#224; quoi que ce soit ...

[Nox]

bonsoir,
honnetement je pense pas qu'en terminale on t'en veuille &#233;norm&#233;ment de partir du r&#233;sultat meme si c'est un truc &#224; ne pas reproduire par la suite. L'essentiel c'est que ce type de raisonnement ne te convienne pas ! Mais &#224; mon avis tu ne dispose pas encore des outils math&#233;matiques qui te permettent de faire le raisonnement dans le bon sens (meme si ca ne te dis rien je pense &#224; l'in&#233;galit&#233; des accroissements finis qui en pr&#233;pa permettrait je pense de faire ca)

Cordialement,
Nox

[matthias]

Est-ce que tu comprends la notion d'équivalence ?

Mettons que je veuille démontrer que pour tous x et y réels j'ai:

A partir de là je pourrais faire les déductions suivantes:

donc

donc

Ce qui est toujours vrai.
Mais effectivement, si je n'ai travaillé qu'avec des implications (des déductions donc), ça ne montre rien.

Par contre je vois que je peux faire le chemin inverse:
Pour tous x et y réels:

donc

donc

donc

Ca marche aussi dans ce sens là. En fait je n'avais pas travaillé avec de simples implications, mais avec des équivalences.

Pour ton problème il faut faire pareil.

Nox, cela n'a strictement rien à voir avec la Terminale ou pas. On ne lui en voudra pas si sa démonstration est juste, on lui en voudra si elle est fausse, point barre.

[invite9b6e0fb5]

bon ben je n'avais pas compris la notion d'&#233;quivalence
Je vais voir ce que &#231;a peut donner, maintenant que j'ai compris

Merci bcp de m'avoir suivit (et compris) dans cet exercice!

bonne soir&#233;e.