Définition d'un polynôme

[invite234d9cdb]

Bonjour !

Quelle est la définition exacte d'un polynôme, en français et en mathématique ?

Je pose cette question car je me demandait si x²+xy+y²=0 est un polynôme...
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[invitedef78796]

Je pose cette question car je me demandait si x²+xy+y²=0 est un polynôme...

Non, tel que tu l'as écrit il s'agit d'une égalité, par exemple l'équation d'une conique quelconque si x et y sont réels, mais par contre P(x,y)= x² + xy + y² définit bien un polynôme (à deux indéterminées).

En revanche il faut toujours préciser le corps (ou l'anneau) dans lequel tu travailles c'est à dire ici les valeurs que peuvent prendre x et y...

Voilà pour ton exemple, si tu cherches une définition précise je pense que tu trouveras ton bonheur dans la bibliothèque des mathématiques du forum...

Voilà

[invite6b1e2c2e]

Bonjour !

Je me permets de rectifier un truc ou deux.
L'anneau des polynômes à une indéterminée sur un anneau A est l'ensemble A[X] des suites (a_n) à valeur dans A à support fini (i.e. avec seulement un nombre fini de termes non nuls). Tu peux te convaincre aisément que l'on retrouve ainsi les polynômes usuels.Tu peux aussi te convaincre que, muni de la loi induite par la mulitplication des polynômes classiques et la loi multiplicative de A, cet ensemble est un anneau.

Ensuite, l'anneau des polynômes à deux indéterminées est l'anneau (A[X])[Y], en général noté A[X,Y]. C'est lui aussi un anneau avec les lois que tu crois.

Ainsi de suite pour les polynômes à n indéterminées.

Mais je voulais rebondir surtout sur une phrase de IceDL. Le corps ou l'anneau surlequel tu travaille ne concerne que les coefficients, pas X et Y.
En effet, X et Y sont des indéterminés. Par exemple, le polynôme P(X) = X^2 est un polynôme de Z[X]. Cela dit, tu peux la fonction polynôme associée est, elle, définit dans n'importe quel anneau...

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rvz

[invitedef78796]

Bonjour !

Mais je voulais rebondir surtout sur une phrase de IceDL. Le corps ou l'anneau surlequel tu travaille ne concerne que les coefficients, pas X et Y.
En effet, X et Y sont des indéterminés. Par exemple, le polynôme P(X) = X^2 est un polynôme de Z[X]. Cela dit, tu peux la fonction polynôme associée est, elle, définit dans n'importe quel anneau...

__
rvz

Oui c'est parfaitement exact, j'ai dit une grosse bêtise j'avais un peu mélangé polynôme et fonction polynomiale associée...

Ces précisions n'étaient donc pas inutiles merci.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite234d9cdb]

J'ai rien compris de ce que vous avez raconté

C'est quoi un anneau Oo

Il me semblait qu'il y avait une définition toute simple des polynômes...

[invite4793db90]

Salut,

grosso modo quand tu as une expression ne faisant intervenir que des produits et sommes de puissances entières d'indéterminées (X, Y, etc.), c'est un polynôme.

Exemple: P(X, Y, Z)=X²Y+XYZ est un polynôme en X, Y et Z.

Un polynôme se résume en fait à une liste de coefficients: le polynôme 3+2X+X³ pourrait s'écrire (3, 2, 0, 1, 0, 0, ...). Evidemment il n'y a qu'un nombre fini de coordonnées non nulles.

A noter que les polynômes ne sont pas des fonctions, mais à tout polynôme on peut associer une fonction dite polynômiale.

ou l'exponentielle ne sont pas des fonctions polynômiales.

Cordialement.

[invite4793db90]

Question aux algébristes: quel est le problème universel dont l'algèbre des polynômes à une indéterminé sur un anneau A est solution?

Il me semble qu'il faut se servir d'un foncteur d'oubli bien choisi mais c'est un peu loin...

[invitec314d025]

Question aux algébristes: quel est le problème universel dont l'algèbre des polynômes à une indéterminé sur un anneau A est solution?

Il me semble qu'il faut se servir d'un foncteur d'oubli bien choisi mais c'est un peu loin...

Je ne comprends rien à ce que tu racontes (je me mettrai peut-être aux catégories un jour), mais j'ai trouvé un doc qui a l'air compliqué, que je comprends encore moins, mais qui parle visiblement le même langage que toi :
http://boumbo.toonywood.org/xavier/maths/schgrp.pdf
Avec un peu de chance, il y aura la réponse à ta question, on sait jamais